北京市高考数学试卷理科.docx
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
第Ⅰ部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）若，满足则的最大值为（ ）
（A）0 （B）3 （C）4 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的值为，
则输出的值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）设a，b是向量．则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）已知，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上，则（ ）
（A），的最小值为 （B），的最小值为
（C），的最小值为 （D），的最小值为
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第Ⅱ部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ．
（10）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则 ．
（12）已知为等差数列，为其前项和．若，，则 ．
（13）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为，则 ．
（14）设函数
①若，则的最大值为 ；
②若无最大值，则实数的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题13分）
在中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
（16）（本小题13分）
A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：
小时）：
A组
6
6.5
7
7.5
8
B组
6
7
8
9
10
11
12
C组
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：
小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（18）（本小题13分）
设函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
（19）（本小题14分）
已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点N．
求证：
为定值．
（20）（本小题13分）
设数列．如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”．记是数列的所有“时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列，写出的所有元素；
（Ⅱ）证明：
若数列中存在使得，则；
（Ⅲ）证明：
若数列满足，则的元素个数不小于．
2016年北京高考数学（理科）答案与解析
1.C
【解析】集合，集合，所以.
2.C
【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为，最大值为.
3.B
【解析】开始，；第一次循环，；第二次循环，，第三次循环，条件判断为“是”跳出，此时.
4.D
【解析】若成立，则以，为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，，表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以不一定成立，从而不是充分条件；反之，成立，则以，为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以不一定成立，从而不是必要条件.
5.C
【解析】.考查的是反比例函数在单调递减，所以即所以错；.考查的是三角函数在单调性，不是单调的，所以不一定有，错；.考查的是指数函数在单调递减，所以有即所以对；考查的是对数函数的性质，，当时，不一定有，所以错.
6．A
【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高，底面积，所以体积.
7．A
【解析】点在函数上，所以，然后
向左平移个单位，即，所以，所以的最小值为.
8．B
【解析】取两个球往盒子中放有种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加个；
②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；
③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个；
④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．
因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B．
9.
【解析】
∵其对应点在实轴上
∴，
10.
【解析】由二项式定理得含的项为
11.
【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算，
直线的直角坐标方程为
∵，∴
圆的直角坐标方程为
圆心在直线上，因此为圆的直径，
12.
【解析】∵∴
∵，∴
∴
13.2
【解析】不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图
∵为正方形，∴，
∵直线是渐近线，方程为，∴
又∵∴
14．，．
【解析】由，得，如下图，是的两个函数在没有限制条件
时的图象．
⑴；
⑵当时，有最大值；
当时，在时无最大值，且．
所以，．
15．
【解析】⑴ ∵
∴
∴
∴
⑵∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴最大值为1
上式最大值为1
16．
【解析】⑴，C班学生40人
⑵在A班中取到每个人的概率相同均为
设班中取到第个人事件为
C班中取到第个人事件为
班中取到的概率为
所求事件为
则
⑶
三组平均数分别为总均值
但中多加的三个数据平均值为，比小，
故拉低了平均值
17．
【解析】⑴∵面面
面面
∵，面
∴面
∵面
∴
又
∴面
⑵取中点为，连结，
∵
∴
∵
∴
以为原点，如图建系
易知，，，，
则，，，
设为面的法向量，令
，则与面夹角有
⑶假设存在点使得面
设，
由
（2）知，，，，
有
∴
∵面，为的法向量
∴
即
∴
∴综上，存在点，即当时，点即为所求.
18．
【解析】（I）
∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即①
②
由①②解得：
，
（II）由（I）可知：
，
令，
∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为
即对恒成立
∴在上单调递增，无减区间.
19．
【解析】⑴由已知，，又，
解得
∴椭圆的方程为.
⑵方法一：
设椭圆上一点，则.
直线：
令，得.
∴
直线：
令，得.
∴
将代入上式得
故为定值.
方法二：
设椭圆上一点，
直线PA:
令，得.
∴
直线:
令，得.
∴
故为定值.
20．
【解析】⑴
⑵因为存在，设数列中第一个大于的项为，则，
其中，所以，．
⑶设数列的所有“时刻”为，
对于第一个“时刻”，有，，则
．
对于第二个“时刻”，有（）．
则．
类似的，…，．
于是，．
对于，若，则；
若，则，否则由⑵，知中存在“时刻”，与只有个“时刻”矛盾．
从而，，证毕．
第11页共11页
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