北京市房山区高三数学理科一模试题及答案.doc
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房山区2018年高考第一次模拟测试试卷
数学（理）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则集合等于
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数，且复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知实数满足条件，则的最大值是
（A）（B）（C）（D）
开始
S=2S+k
k=k+1
S=0,k=1
否
是
输出S
结束
（4）执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断
框内应填入的条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）下列函数中，与函数的单调性和奇偶性相同的函数是
（A）（B）
（C）（D）
（6）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）“”是“关于的方程无解”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转的过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，则下列判断正确的是
（A）当时，
（B）时，为减函数
（C）对任意，都有
（D）对任意，都有
第二部分（非选择题共分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）抛物线的焦点坐标为.
（10）某班植树小组今年春天计划植树不少于棵，若第一天植树棵，以后每天植树的棵数是前一天的倍，则需要的最少天数等于.
（11）在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为______．
（12）已知函数同时满足以下条件：
①周期为；②值域为；③．试写出一个满足条件的函数解析式.
（13）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为.
（14）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为，且，则.
C
E
D
A
B
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题分）
在△中，内角的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
（16）（本小题分）
年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过天，重度污染的天数仅有天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：
①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：
千立方米）均在区间内，将数据按区间列表如下：
分组
频数
频率
合计
（Ⅰ）求表中，的值，若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；
（Ⅱ）从用气量在区间和区间的用户中任选户，进行燃气使用的满意度调查，求这户用气量处于不同区间的概率；
（Ⅲ）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了户，用表示用气量在区间内的户数，求的分布列和期望．
（17）（本小题分）
P
A
B
C
D
E
如图，四棱锥中，△是以为斜边的等腰直角三角形，，=，，.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）若为中点，求与面所成角的正弦值；
（Ⅲ）由顶点沿棱锥侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为.求该最短路线的长及的值.
（18）（本小题分）
已知椭圆:
过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求证：
为定值．
（19）（本小题分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求在处的切线方程；
（ii）设，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间有两个的零点，求实数a的取值范围．
（20）（本小题分）
已知有穷数列数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程:
中任取两项，将的值添在的最后，然后删除这样得到一个项的新数列（约定：
一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，…，如此经过次操作后得到的新数列记作.
（Ⅰ）设请写出的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：
对于一个项的数列操作总可以进行次；
（Ⅲ）设，求的可能结果，并说明理由.
房山区2018年高考第一次模拟测试试卷
数学（理）
参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
B
C
B
D
D
A
C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）（10）（11）（12）或或其它满足条件的结果。
（13）（14）
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题分）
（Ⅰ）解：
由已知得，
即．
解得，或．
因为，故舍去．
所以．…………6分
（Ⅱ）解：
由余弦定理得．
将，代入上式，整理得．
因为，
所以．
所以△的面积．…………13分
解：
（Ⅰ），
估计该村每户平均用气量为
…………4分
（Ⅱ）设“这3户用气量处于不同区间”，则
…………7分
（Ⅲ）的可能取值为，，，，则
所以的分布列为
或，所以…………13分
（17）证明：
证明：
（Ⅰ）由题，
…………5分
（Ⅱ）法1：
由（Ⅰ）知
以点O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示
C（）P（0,0,1）,D（0,1,0）B（）E（0,,）
P
A
B
C
D
E
O
x
y
z
设面PBC的法向量
设CE与面PBC所成角为
…………10分
P
A
B
C
D
E
x
y
z
（Ⅱ）法2：
以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示
C（）P（-1,0,1）,D（0,0,0）B（）E（,0,）
设面PBC的法向量
设CE与面PBC所成角为
P
A
B
C
D
E
x
y
z
…………10分
法3：
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示
C（）P（0,1,1）,D（0,2,0）B（）E（0,,）
设面PBC的法向量
设CE与面PBC所成角为
…………10分
（Ⅲ）
将侧面PCD绕着PD旋转，使其与侧面PAD共面，点C运动到C’，连接AC’交PD于E，
则AC’为最短路线
…………14分
（18）（Ⅰ）根据题意
解得：
所以椭圆的方程为……………5分
（Ⅱ）设直线的方程为
由得
由得且
设，线段中点
那么，
设，根据题意
所以，得
所以
=
所以为定值…………………14分
（19）（Ⅰ）解：
，，，.
.
故所求切线方程为：
（Ⅱ）解：
函数定义域为：
，
故的极小值为，无极大值.
（Ⅲ）解法1：
令，解得：
（显然）
问题等价于函数与函数的图像有两个不同交点.
由（Ⅱ）可知：
，，，解得：
故实数a的取值范围是.
（Ⅲ）解法2：
（1）时，上是减函数，不能有两个零点；
（2）时，，所以恒成立，所以上是减函数，不能有两个零点；
（3）时，令
变化情况如下表：
（i）时，即，上是增函数，所以不能有两个零点；
（ii）时，上是减函数，上是增函数.所以若有两个零点只需：
即：
解得所以
综上可知的范围是
20.解：
（Ⅰ）有如下的三种可能结果：
……………………3分
（Ⅱ），有
且
所以，即每次操作后新数列仍是数列.
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）……………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知中仅有一项.
对于满足的实数定义运算：
，下面证明这种运算满足交换律
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