北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理科)试题及答案.doc
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昌平区2017－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（理科）2018.1
本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.若集合，，则
A.B.
C. D.
2．
A.B.C.D.1
开始
否
是
输出
结束
3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A．43B.55
C.61D.81
4．设满足则的最大值为
A．B.2C.4D.16
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为
2
主视图
左视图
俯视图
1
1
2
A.1B.
C.2D.
6.已知函数则函数
A．是偶函数，且在上是增函数B.是奇函数，且在上是增函数
C.是偶函数，且在上是减函数D.是奇函数，且在上是减函数
7.设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分.比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是
A．0B.1C.2D.3
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.的二项展开式中的系数为．
10.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为.
11.已知直线，点是圆上的点，那么点到直
线的距离的最小值是.
12.已知，,点E是AB边上的动点，则的值为；的最大值为.
13.某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块
牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有种.
14．若函数（且），函数.
①若，函数无零点，则实数的取值范围是；
②若有最小值，则实数的取值范围是．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题13分）
已知等差数列的公差为1，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列，求数列的前项和.
16.（本小题13分）
在中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
17.（本小题13分）
随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：
图1：
甲大学图2：
乙大学
根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:
学习时间
（分钟/天）
等级
一般
爱好
痴迷
（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论）
18.（本小题14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，为线段的中点，在线段上.
（I）当是线段的中点时，
求证：
PB//平面ACM；
（II）求证：
；
（III）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.（本小题14分）
已知函数，.
（I）当a=2时，求曲线y=在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）求函数在区间[0,e-1]上的最小值.
20.（本小题13分）
已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.设该数列的前项和为,
规定：
若,使得（），则称为该数列的“佳幂数”.
（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；
（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
（III）（i）求满足>70的最小的“佳幂数”;
（ii）证明：
该数列的“佳幂数”有无数个.
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数学试卷（理科）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
C
B
C
A
B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.2110.11.2
12.;13.6,7,8答对一个即可给满分
14.；
三、解答题（共6小题，共80分）
15.（共13分）
解：
（Ⅰ）在等差数列中，因为成等比数列，
所以，
即，
解得.
因为
所以
所以数列的通项公式.……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以.得
……………13分
16.（共13分）
解：
（I）因为，所以，
由正弦定理，
得．
又因为，，
所以．
又因为，
所以．……………6分
（II）由，得，
由余弦定理，
得，
即，
因为，
解得.
因为，
所以.……………13分
17.（共13分）
解：
（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为，
所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为.………3分
（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，
乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，
所以，随机变量的取值为.
所以，，
，
.
所以的分布列为
0
1
2
P
的数学期望为.……………10分
（Ⅲ）;.……………13分
18.（共14分）
（I）证明：
连接BD交AC于H点，连接MH，
因为四边形ABCD是菱形，
所以点H为BD的中点.
又因为M为PD的中点，
所以MH//BP.
又因为BP平面ACM,平面ACM.
所以PB//平面ACM.……………4分
（II）证明：
因为为正三角形，E为AB的中点，
所以PE⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD.
又因为平面，
所以.……………8分
D
A
B
C
P
E
z
x
y
（Ⅲ）因为ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中点，
所以CE⊥AB.
又因为PE⊥平面ABCD，
以为原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，
，，．………10分
假设棱上存在点，设点坐标为，，
则，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则
，解得．
令，则，得．
因为PE⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量，
所以．
因为二面角的大小为60°，
所以，
即，
解得，或（舍去）
所以在棱PD上存在点，当时，二面角的大小为60°．
…………………14分
19.（共14分）
解：
（I）f（x）的定义域为.……………1分
因为，a=2，
所以，.
所以函数f（x）在点处的切线方程是.……………4分
（II）由题意可得.
（1）当时，，
所以在上为减函数，
所以在区间上，.……………6分
（2）当时,令，则，
①当，即时，
对于，，
所以f（x）在上为增函数，
所以.
②当，即时，
对于，，
所以f（x）在上为减函数，
所以.
③当即时，
当x变化时，，的变化情况如下表：
0
-
0
+
极小值
所以.………13分
综上，
当时，；
当时，；
当时，.……………14分
20.（共13分）
（Ⅰ）1，2，3；……………3分
（Ⅱ）由题意可得，数列如下：
第1组:
1，第2组:
1,2；第3组：
1,2,4；第k组：
.
则该数列的前项的和为:
，①
当时，，
则，
由于，对，，故50不是“佳幂数”.……………7分
（III）（i）在①中，要使，有，
此时，
所以是第组等比数列的部分项的和，
设
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”.……………11分
（ii）由（i）知：
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.……………13分
11
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