北京大学博雅计划数学试题.docx

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2016年北京大学博雅计划数学试题

选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.

1.直线与曲线相切，则的值为（）

A-3B-2C-1D前三个答案都不对

2.已知三角形的三边长分别为，有以下4个命题：

⑴以为边长的三角形一定存在；⑵以为边长的三角形一定存在；⑶以为边长的三角形一定存在；⑷以为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（）

A2B3C4D前三个答案都不对

3.设是圆的两条互相垂直的直径，弦交于点，，则等于（）

ABCD前三个答案都不对

4.函数，则满足且的的个数为（）

A12B13C14D前三个答案都不对

5.若方程的根也是方程的根，则的值为（）

A-13B-9C-5D前三个答案都不对

6.已知，则等比数列的公比是（）

ABCD前三个答案都不对

7.计算的值为（）

ABCD前三个答案都不对

8.设为实数，，方程的两个虚根满足为实数，则等于（）

A1B0CD前三个答案都不对

9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）

A34650B5940C495D前三个答案都不对

10.设是以为直径的圆上的一点，是线段上的点，是延长线上的点，已知，则的长为（）

A11B12C13D前三个答案都不对

11.两个圆内切于点,大圆的弦与小圆切于点，已知，，则的长为（）

A24B25C26D前三个答案都不对

12.是定义在上的函数，且对任意实数均有，则等于（）

A0BCD前三个答案都不对

13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（）

A30B36C42D前三个答案都不对

14.已知正整数满足，则有可能等于（）

A101B301C401D前三个答案都不对

15.三个不同的实数满足，则等于（）

A-1B0C1D前三个答案都不对

16.已知，则的最大值与最小值的乘积属于区间（）

ABCD前三个答案都不对

17.在圆内接四边形中，，则四边形的面积等于（）

ABCD前三个答案都不对

18.除以100所得的余数为（）

A3B13C27D前三个答案都不对

19.方程组的实数解的组数为（）

A5B6C7D前三个答案都不对

20.方程的所有实根的平方和等于（）

A0B2C4D前三个答案都不对

2016年北京大学博雅计划数学试题答案

ABCDABDBDABCABDCBBCC

略解：

1.由于，于是切点横坐标为，从而有，解得.

2.不妨假设

⑴正确，因为有；⑵错误，即为反例；

⑶正确，因为有；

⑷正确，因为有

3.如图，连接，由于与相似，因此，从而，

因此

4.满足且的的个数为11，分别为。

5.根据题意，有，

于是，从而。

6.令，则成等比数列，从而，进而可得公比为.

7.根据题意，有=

=

8.因为一元二次方程的虚根必然共轭，因此可设，

从而为实数，所以，于是，

所以.

9.不同分法数有.

10.因为,于是，又因为，于是，

故，解得，从而

11.如图，设与小圆交于点，连接，为两圆在处的公切线，由弦切角定理得:

又,所以,因此由角平分线定理可得：

从而可得

12.分别令，可得，解得，再令，可得：

，从而

13.以正9边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有4个，其中有一个是等边三角形，因此所有的方法数为

14.考虑。

则

于是不是质数即可，如

于是取可得答案

15.设，则是关于的方程的三个实根，其中为常数，

由韦达定理可知。

16.设函数，则其导函数，做出函数的图像，函数在处的切线

，以及函数的图像过点和的割线，如图

于是可得，

左侧等号当或时取得；右侧等号当时取得，因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式最大最小值的乘积.

17.如图，连接，有且,则有托勒密定理可得

即,

于是,进而.

18.由于当且时，，于是

19.顺次记方程中的方程为①，②，③，则①③-②2可得从而或或

情形一：

或此时可得

情形二：

此时可得

综上所述，原方程共有7组实数解。

20.令，则原方程等价于，因为函数是上的增函数，故原方程又等价于，所以原方程的所有实根为，其平方和为4。