初高中数学衔接教材(共28页).doc

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初高中数学衔接教材

引入乘法公式

第一讲因式分解

第二讲函数与方程

第三讲 三角形的“四心”

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式；

（2）完全平方公式．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式；

（2）立方差公式；

（3）三数和平方公式；

（4）两数和立方公式；

（5）两数差立方公式．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1计算：

．

解法一：

原式=

=

=．

解法二：

原式=

=

=．

例2已知，，求的值．

解：

．

练习

1．填空：

（1）（）；

（2）；

（3）　．

2．选择题：

（1）若是一个完全平方式，则等于（）

（A）（B）（C）（D）

（2）不论，为何实数，的值（）

（A）总是正数（B）总是负数

（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

第一讲因式分解

因式分解的主要方法有：

十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1分解因式：

（1）x2－3x＋2；

（2）x2＋4x－12；

（3）；（4）．

说明：

（2）x2＋4x－12＝（x－2）（x＋6）．

（3）－1

1

x

y

图1．1－5

＝

（4）＝xy＋（x－y）－1

＝（x－1）（y+1）（如图1．1－5所示）．

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）__________________________________________________。

（2）__________________________________________________。

（3）__________________________________________________。

（4）__________________________________________________。

（5）__________________________________________________。

（6）__________________________________________________。

（7）__________________________________________________。

2、

3、若则，。

二、选择题：

（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、若多项式可分解为，则、的值是（）

A、，B、，C、，D、，

2、若其中、为整数，则的值为（）

A、或B、C、D、或

2．提取公因式法

例2分解因式：

（1）

（2）

解：

（1）．=

（2）==

=．或

＝＝＝

＝＝

3：

公式法

例3分解因式：

（1）

（2）

解：

（1）=

（2）=

课堂练习

一、，，的公因式是______________________________。

4．分组分解法

例4

（1）

（2）．

（2）=

==．

或

=

=

=．

第二讲函数与方程

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．

例1已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例2已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

解：

设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得

x1＋x2＝－2（m－2），x1·x2＝m2＋4．

∵x12＋x22－x1·x2＝21，

∴（x1＋x2）2－3x1·x2＝21，

即[－2（m－2）]2－3（m2＋4）＝21，

化简，得m2－16m－17＝0，

解得m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．

例3若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求|x1－x2|的值；

（2）求的值；

（3）x13＋x23．

解：

∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

∴，．

（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝

＝＋6＝，

∴|x1－x2|＝．

（2）．

（3）x13＋x23＝（x1＋x2）（x12－x1x2＋x22）＝（x1＋x2）[（x1＋x2）2－3x1x2]

＝（－）×[（－）2－3×（）]＝－．

例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：

设x1，x2是方程的两根，则

x1x2＝a－4＜0，①

且Δ＝（－1）2－4（a－4）＞0．②

由①得a＜4，

由②得a＜．∴a的取值范围是a＜4．

练习

1．选择题：

若关于x的方程mx2＋（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

（A）m＜（B）m＞－（C）m＜，且m≠0（D）m＞－，且m≠0

2．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．

2．2二次函数

2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

例1已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

分析：

本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．

解：

（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点（－2，4），所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

2.2.2二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

2．顶点式：

y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）．

3．交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的

例1已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

练习

1．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点（－1，0）和（2，0），则该二次函数的解析式可设为y＝a（a≠0）．

（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．

第三讲三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1

图3.2-2

如图3.2-1，在三角形△ABC中，有三条边，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）

图3.2-5

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

图3.2-8

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

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