利用导数求最值.doc
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利用导数求最值
导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。
导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。
下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。
一、函数的最大值与最小值
在闭区间[]上连续，在（）内可导，在[]上求最大值与最小值的步骤：
先求在（）内的极值；再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
求可导函数极值的步骤：
首先：
求导数；再求导数=0的根；最后：
检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取极大值；如果左负右正，那么在这个根处取极小值。
二、利用导数求最值
例1、设，求的最小值。
解：
设，则
令，由，解得。
列表：
（0，1）
1
－
0
＋
↘
最小值
↗
由表可知，当时，有最小值1。
评注：
利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。
当函数f（x）为连续函数且在上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f（x）有极大（小）值，则可以判定f（x）在该点处取得最大（小）值，这里（a，b）也可以是无穷区间。
练习1：
已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，当x为何值时，f（x）取得最小值？
并证明你的结论；
三、利用导数求最值的运用
（一）求函数的值域
例2、求函数的值域．
解：
由得的定义域为。
因为，所以在上单调递增，故当时，时，。
所以值域为。
评注：
求函数的值域转化为求在闭区间上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。
练习2：
已知x，y为正实数，且满足关系式，求xy的最大值。
（二）利用最值求参数的值（或范围）
例3、设，函数的最大值为1，最小值为，求a，b的值。
解：
，当x变化时，变化情况列表如下：
x
－1
（－1，0）
0
（0，a）
a
（a，1）
1
+
0
－
0
+
b
当x=0时，f（x）取极大值b，而，，故需比较f（0）与f
（1）的大小。
∵，∴f（x）最大值为f（0）=b=1。
又。
∴，∴，∴。
评注：
这是一道求函数的最值的逆向思维问题。
本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a，b的值。
（三）利用最值研究恒成立问题
例4、设函数若对于任意都有成立，求实数的取值范围。
解：
令得或。
∵当或时，∴在和上为增函数，
在上为减函数，∴在处有极大值，在处有极小值。
极大值为,而,∴在上的最大值为7。
若对于任意x都有成立,得m的范围。
评注：
利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f（x）≥a对x∈R恒成立f（x）的最小值≥a成立；f（x）≤a对x∈R恒成立f（x）的最大值≤a成立。
练习2：
已知函数在与x＝1时都取得极值。
⑴求a、b的值；⑵若对恒成立，求c的取值范围。
四、利用最值证明不等式
例5、已知是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2。
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）对任意，求证：
不等式恒成立。
解：
（1）∵f（x）是奇函数，，∴f（0）=0,∴d=0
因此
由条件f
（1）=-2为f（x）的极值，∴f,
（1）=0，
∴，解之得：
a=1，c=-3
则，令，得
∴f（x）的单调减区间是[-1，1]，f（x）的单调增区间是
当x=-1时，f（x）有极大值2。
（2）证明：
由
（1）知f（x）在[-1，1]上是减函数，且f（x）在[-1，1]上有最大值f（-1）=2,有最小值f
（1）=-2
∴对任意，恒有
评注：
本题
（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。
此外，函数的极值点也可能是不可导点。
附练习答案：
1、解：
（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）＝（x2－2ax）ex+（2x－2a）ex＝［x2+2（1-a）x-2a］ex。
令f′（x）＝0，得［x2+2（1-a）x-2a］ex＝0，
从而x2+2（1－a）x－2a＝0。
解得
，其中x1＜x2。
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
（－∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
+
0
—
0
+
f（x）
极大值
极小值
当f（x）在x＝x1处取到极大值，在x＝x2处取到极小值.
当a≥0时，x1＜－1，x2≥0，f（x）在（x1，x2）为减函数，在（x2，+∞）为增函数.
而当x＜0时，f（x）＝x（x－2a）ex＞0；当x＝0时，f（x）＝0.
所以当时，f（x）取得最小值。
2、解：
由题意，，设f（x）。
当时，，令，得或x=0（舍去）。
当x在内变化时，y/，y有如下变化情况：
x
2
y/
+
0
－
y
极大值
0
由上表可知，当x=时，f（x）最大值为，亦即xy的最大值为。
3、解：
⑴；
⑵令，故对任意恒成立。
∵，列表知对任意，y＝的最大值为g
（2）＝2，∴2＜c2－c，得c＜－1或c＞2。
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