函数的单调性知识点总结与经典题型归纳.doc

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函数的单调性

　知识梳理

1.单调性概念

一般地，设函数的定义域为：

（1）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

（2）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.

2.单调性的判定方法

（1）图像法：

从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（2）定义法步骤；

①取值：

设是给定区间内的两个任意值，且（或）；

②作差：

作差，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；

③定号：

判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；

④下结论：

根据定义得出其单调性.

（3）复合函数的单调性：

当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。

也就是说：

同增异减（类似于“负负得正”）

3.单调区间的定义

如果函数，在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．

例题精讲

【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图．

（1）从左向右看，图形是如何变化的？

（2）在哪些区间上升?

哪些区间下降？

解：

（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；

（2）在区间和下降，在区间下降。

【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f（x）=x;

①从左至右图象上升还是下降?

②在区间（-∞，+∞）上，随着x的增大，f（x）的值随着怎么变化？

（2）f（x）=x2．

①在区间（-∞，0）上，随着x的增大，f（x）的值随着怎么变化？

②在区间[0，+∞）上，随着x的增大，f（x）的值随着怎么变化？

解：

（1）①从左至右图象是上升的；

②在区间（-∞，+∞）上，随着x的增大，f（x）的值随着增大．

（2）①在区间（-∞，0）上，随着x的增大，f（x）的值随着减小；

②在区间[0，+∞）上，随着x的增大，f（x）的值随着增大．

【例3】函数在定义域的某区间上存在，满足且，那么函数在该区间上一定是增函数吗？

解：

不一定，例如下图：

【例4】下图是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

解：

函数的单调区间有；

其中在区间上是减函数，在区间上是增函数.

【例5】证明函数在上是增函数.

证明：

设是上的任意两个实数，且（取值）

则（作差）

由，得

于是（定号）

所以

所以，函数在上是增函数。

（下结论）

课堂练习

u仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1.若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上（）

A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性

2.在区间上为增函数的是（）

A． B．

C． D．

3．函数,在上是（）

A.增函数B.减函数C.先增后减D.无单调性

4．如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论不正确的是（　　）

A.>0B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0

C．f（a）0

5．函数的减区间是.

6．证明：

函数在上是减函数。

7．已知f（x）在（0，＋∞）上是减函数，判断f（a2－a＋1）与f的大小关系．

8．若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，求k的取值范围.

9．已知函数,若.

（l）求的值.

（2）利用单调性定义证明函数在区间的单调性.

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