函数的单调性与求函数的最值.doc

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函数的单调性与最值

复习：

按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图像.

图像在轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+）上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，如果取∈[0，+），得到,,那么当<时，有<.这时就说函数=在[0,+）上是增函数.

图像在轴的左侧部分是下降的，当在区间[0，+）上取值时，随着的增大,相应的值反而随着减小，如果取∈[0，+），得到,,那么当<时，有。

这时就说函数=在[0,+）上是减函数.

1．函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），

那么就说函数f（x）在区间D上是增函数

当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象

描述

在单调区间上增函数的图象是上升的

在单调区间上减函数的图象是下降的

（2）单调区间的定义

若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f（x）的单调区间．

注意：

（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

（4）若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数.例如在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.

（3）用定义法判断函数的单调性：

①定义域取值；任取x1，x2∈D，且x1

②作差；作差f（x1）－f（x2）；

③变形；通常是因式分解和配方；

④定符号；即判断差f（x1）－f（x2）的正负

⑤下结论．指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性

例1证明函数在（0,+）上是减函数.

证明：

设,是（0,+）上的任意两个实数，且<，

则－=－=,

由,∈（0,+），得>0,

又由<,得－>0,于是－>0,即>

∴在（0,+）上是减函数.

练习：

讨论函数在[-1,0]的单调性.

在[-1,0]上任取x1,x2且x1

则,

从而-==

∵∴另外，恒有

∵-1≤x1

∴在[-1，0]上f（x）为增函数

2.基本函数的单调性

例：

讨论函数在（-2,2）内的单调性.

解：

∵，对称轴

∴若,则在（-2,2）内是增函数；

若则在（-2,a）内是减函数,在[a,2]内是增函数

若,则在（-2,2）内是减函数.

3.判断函数的单调性的常见结论

①设任意x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，那么

⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

②设任意x1，x2∈[a，b]，那么

⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

③（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

【梳理·总结】

（1）函数与的单调性相反；

（2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；

（3）函数与函数（为常数）的单调性相同；

（4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反；

（5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；

（6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；

（7）设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数.

例：

求函数y＝的单调区间.

4.关于分段函数的单调性

（1）若函数,在区间上是增函数,在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:

（2）若函数,在区间上是减函数,在区间上是减函数,则在区间上不一定是减函数,若使得在区间上一定是减函数,需补充条件:

例：

已知函数若对任意x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,]B．（0,1）C．[,1）D．（0,3）

5．函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

.

①对于任意x∈I，都有f（x）≤M；

①对于任意x∈I，都有f（x）≥M；

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M.

结论

M为最大值，记作

M为最小值，记作

例：

f（x）＝x2－2x（x∈[－2,4]）的单调增区间为__________；f（x）max＝________.

6.利用函数的单调性求最值

例题：

已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＜0，f

（1）＝－.

（1）求证：

f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值．

（1）证明:

令,则;再令,则应有,从而在上任取,则.

又时,,从而,即,

由定义可知函数在上的减函数.

（2）函数是上的减函数,在区间上也是减函数.从而可知在区间上,最大,最小.

即在上的最大值为2,最小值为－2.

练习：

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x）－f（y）.，且当x＞1时，f（x）＜0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性；

（3）若f（3）=-1,解不等式f（|x|）＜-2.

（1）f

（1）=f（1/1）=f

（1）-f

（1）=0。

（2）当01，所以f（x）-f（y）=f（x/y）<0。

故f单调减。

（3）f（3）=-1，f（3）=f（9/3）=f（9）-f（3），f（9）=-2而f（｜x｜）＜-2=f（9），且f（x）单调减，所以|x|>9，x＞9或x＜-9

7.导数与函数的单调性

（1）导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

（2）函数的导数与函数的单调性的关系：

设函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f（x）在这个区间内为增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f（x）在这个区间内为减函数。

（3）几种常见函数的导数

①；②；③；④

（4）导数的运算法则

①.②.③.

8.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：

①确定函数的定义域；

②计算导数，

③令，解此不等式，求出递增区间；

令<0，解此不等式，求出递增区间；

例：

函数是减函数的区间为（）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

答案：

D

解析：

练习：

（1）函数的单调减区间是__________.

答案：

解析：

首先考虑定义域及知，

（2）求函数的单调区间，并绘出图像。

解：

函数定义域为

令，得或．

∴函数的单调递增区间为和；

令，得且，

∴函数的单调递减区间是和．

基础练习：

1.在区间上为增函数的是 （）

A． B．

C． D．

答案：

B提示:

A为常函数,C在上是增函数,在上是减函数,而D在区间上为减函数.

2.在区间（0，＋∞）上不是增函数的函数是 （）

A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1

C．y= D．y=2x2＋x＋1

答案：

C

3.函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间（－∞，－2）上是减函数，则f

（1）等于 （）

A．－7 B．1

C．17 D．25

答案：

D

4.已知在区间上是增函数，则的范围是（）

A．B．C．D．

答案：

B提示:

对称轴.

5.函数的递增区间依次是 （）A． B．

C． D.

答案：

D

6.函数在和都是增函数，若，且那么（）

A． B．

C． D．无法确定

答案：

D

7.函数f（x）在区间（－2，3）上是增函数，则y=f（x＋5）的递增区间是 （）

A．（3，8） B．（－7，－2）

C．（－2，3） D．（0，5）

答案：

B

8.已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]内（）

A．至少有一实根 B．至多有一实根

C．没有实根 D．必有唯一的实根

答案：

A

9.已知函数若对任意x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．B．C．D．（1,2）

答案：

C

10.设x1，x2为y＝f（x）的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：

①（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0；

②（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0；

③>0；

④<0.

其中能推出函数y＝f（x）为增函数的命题为________.（填序号）

11.函数的递减区间是

答案：

（-¥,-3）提示:

借助复合函数的单调性加以判断.

12.已知函数y＝f（x）在R上是减函数，A（0，－2）、B（－3,2）在其图象上，则不等式－2

综合练习：

1.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图像上的两点，那么不等式|f（x＋1）|＜1的解集的补集是 （）

A．（－1，2） B．（1，4）

C．（－∞，－1）∪[4，＋∞） D．（－∞，－1）∪[2，＋∞）

2.已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f

（1）的实数x的取值范围是（　　）

A.（－1,1） B.（0,1）

C.（－1,0）∪（0,1） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

3.已知函数f（x）＝若f（2－a2）>f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）B．（－1,2）C．（－2,1）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

解析：

f（x）＝由f（x）的图象可知f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数，由f（2－a2）>f（a）得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2

4.已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）

A． B．

C． D．

答案：

D提示:

且在实数集上是减函数，从而知,从而选D.

5.f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（）＝f（x）－f（y）.

（1）求f

（1）的值；

（2）若f

（2）＝1，解不等式f（x+3）－f（）＜2.

【解】

（1）令，从而得f

（1）=;

（2）∵，．

因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，

所以原不等式f（x+3）