函数应用、零点、二分法知识点和练习.doc

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一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数仅有一个零点。

②反比例函数没有零点。

③一次函数仅有一个零点。

④二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

⑤指数函数没有零点。

⑥对数函数仅有一个零点1.

⑦幂函数，当时，仅有一个零点0，当时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把转化成，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。

即f（x）=g（x）的解集çèf（x）的图像和g（x）的图像的交点。

6、选择题判断区间上是否含有零点，只需满足。

7、确定零点在某区间个数是唯一的条件是:

①在区间上连续，且②在区间上单调。

8、函数零点的性质：

从“数”的角度看：

即是使的实数；

从“形”的角度看：

即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．

9、二分法的定义

对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

10、给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：

（1）确定区间，，验证，给定精度；

（2）求区间，的中点；

（3）计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若<，则令=（此时零点）；

③若<，则令=（此时零点）；

（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤

（2）-（4）．

11、二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：

①审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②建模：

将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③解模：

求解数学模型，得出数学结论；

④还原：

将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

例题分析

【例1】若方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是.

【例2】若函数f（x）＝x2－（2a－4）x－3在[1，3]上的最小值是g（a），求g（a）的函数表达式．

针对练习

一、选择题

1．已知函数唯一的零点在区间内，那么下面命题错误的（）

A函数在或内有零点B函数在内无零点

C函数在内有零点D函数在内不一定有零点

2.函数零点的个数为（）

ABCD

3.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A.（-1,1）B.（-2,2）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

4．函数的零点落在区间（）

A．（2，2.25） B．（2.25，2.5） C．（2.5，2.75） D．（2.75，3）

5.方程lgx＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解（）

A.[-10，-]B.C.D.

6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）

7.若方程有两个解，则实数的取值范围是（）

A、B、C、D、

8.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）

A.B.C.D.

9.方程的解所在的区间是（）

A.（0,1） B.（1,2）C.（2,3） D.（3,4）

10.若关于的方程在上有解，则的取值范围是（）

A．　B.　C．　D．　

11、方程根的个数为（）

A、0B、1C、2D、3

12.方程的实根的个数是（）

A．1B.2C.3D.4

二、填空题

13．用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是

14.若方程的实根在区间内，且，

则.

15.设y=f（x）的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f（x）=0在[a,b]上有实根.

三、解答题

16、有一块长为20cm，宽为12cm的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出这个盒子的体积V与边长的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。

17.设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：

方程有且仅有一根介于和之间。

18.已知函数f（x）=（a，b为常数，且a≠0）满足f

（2）=1且方程f（x）=x有唯一解，求函数f（x）的解析式

19．已知函数的定义域为（0，+∞），且满足对任意的＞0，y＞0，，.当＞1时，＞0.

（1）求的值；

（2）判断的单调性，并加以证明；（3）解不等式.

三、布置作业

1.方程的根所在的区间为（）

A、B、C、D、

2．已知，则在下列区间中，有实数解的是（）

（A）（-3，-2）（B）（-1，0）（C）（2，3）（D）（4，5）

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