全国高考文科数学试题及答案-福建卷.doc
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数等于（）
A．B．C．D．
2.已知集合，，下列结论成立的是（）
A．B．C．D．
3.已知向量，，则的充要条件是（）
A．B．C．D．
4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（）
A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱
5.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出值等于（）
A．B．C．0D．
7.直线与圆相交于两点，则弦的长度等于（）
A．B．C．D．1
8.函数的图像的一条对称轴是（）
A．B．C．D．
9.设，，则值为（）
A．1B．0C．D．
10.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（）
A．B．1C．D．2
11.数列的通项公式，其前项和为，则等于（）
A．1006B．2012C．503D．0
12.已知，且，现给出如下结论：
①；②；③；④。
其中正确结论的序号是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13.在中，已知，，，则_______。
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。
按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。
15.已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_________。
16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。
例如：
在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。
三、解答题：
本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在等差数列和等比数列中，，的前10项和。
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
18.（本小题满分12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（I）求回归直线方程，其中
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
（利润=销售收入—成本）
19.（本小题满分12分）
如图，在长方体中，，为棱上的一点。
（I）求三棱锥的体积；
（II）当取得最小值时，求证：
平面。
20.（本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
21.（本小题满分12分）
如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上。
（I）求抛物线的方程；
（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点。
证明以为直径的圆恒过轴上某定点。
22.（本小题满分14分）
已知函数且在上的最大值为。
（I）求函数的解析式；
（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）参考答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
６
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
D
C
A
B
C
B
B
A
C
二．填空题
13.14.1215.（0,8）16.16
三．解答题
17.本小题主要考查等差数列、等比数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、必然与或然思想。
满分12分。
解：
（I）设的公差为，的公比为。
依题意得
，，
解得
所以
（II）分别从和的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：
符合题意的基本事件有2个：
故所求的概率
18.本小题主要考查回归分析、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、特殊与一般思想。
满分12分。
解：
（I）由于，
所以，从而回归直线方程为。
（II）设工厂获得的利润为L元，依题意得
当且仅当时，L取得最大值。
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系和几何体的体积等基础知识。
解：
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理证明能力，考查特殊与一般思想、化归与转化思想。
满分13分。
解法一：
（I）选择
（2）式，计算如下：
（II）三角恒等式为
证明如下：
=
=
==
解法二：
（I）同解法一。
（II）三角恒等式为
证明如下：
=
=
=
=
21.本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．满分12分
解法一：
（1）依题意=，
设B（x,y），则x=sin30。
=，y=cos30。
=12
因为点B（，12）在x2=2py上，所以=2p*12，所以p=2
所以抛物线E的方程为
（2）由
（1）知,y’=x.
设P（x0,y0）,则x00，并且l的方程为，即
由，得
所以
设,令对满足的，恒成立。
由于，
由于,得
即（（*）
由于（*）对满足的恒成立，所以
解得故以PQ为直径的预案横过y轴上的定点M（0，1）
解法二
（1）同解法一
（2）由
（1）知,y’=x，设P（x0,y0），则，且l的直线方程为，即
由得，，所以
取=2，此时P（2,1）,Q（0,-1）,以PQ为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；取=1，此时P（1，），Q（，-1），以PQ为直径的圆为，交y轴于（0,1）或，（0，）
故若满足条件得点M存在，只能是（0,1）。
以下证明点（0,1）就是所要求的点。
因为，
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M
22.本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分
解：
（1）由已知得
对于任意
当；
不合题意；
解得，
综上所述，得
（2）在内有且只有两个零点，证明如下：
由
（1）知，，从而有，；
所以内至少存在一个零点。
又由
（1）知，故。
当时，令
由
当时，
故当时，故
当时，，即，
又且，
从而；
综上所述，在内有且只有两个零点。
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