全国高中数学联赛分类解析-2006-2010立体几何.doc
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立体几何
(06)4.在直三棱柱中,,.已知G与E分别为和的中点,D与F分别为线段和上的动点(不包括端点).若,则线段的长度的取值范围为
A.B.C.D.【答】()
4.【答】(A)【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则(),,,()。
所以,。
因为,所以,由此推出。
又,,从而有。
(06)10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水cm3.
10.【解】设四个实心铁球的球心为,其中为下层两球的球心,分别为四个球心在底面的射影。
则ABCD是一个边长为的正方形。
所以注水高为。
故应注水=。
(07)1.如图,在正四棱锥P−ABCD中,∠APC=60°,则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为(B)
A. B. C. D.
解:
如图,在侧面PAB内,作AM⊥PB,垂足为M。
连结CM、AC,则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。
不妨设AB=2,则,斜高为,故,由此得。
在△AMC中,由余弦定理得。
(07)9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。
解:
如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:
一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。
在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为,AA1=1,则。
同理,所以,故弧EF的长为,而这样的弧共有三条。
在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为,,所以弧FG的长为。
这样的弧也有三条。
于是,所得的曲线长为。
(08)4.若三个棱长均为整数(单位:
cm)的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为(A)
A.764cm3或586cm3B.764cm3
C.586cm3或564cm3D.586cm3
[解]设这三个正方体的棱长分别为,则有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6.
若,则,易知,,得一组解.
若,则,.但,,从而或5.若,则无解,若,则无解.此时无解.
若,则,有唯一解,.
若,则,此时,.故,但,故,此时无解.
综上,共有两组解或
体积为cm3或cm3.
(08)12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.
[解]如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心.
因
答12图1
,
故,从而.
记此时小球与面的切点为,连接,则
.
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2.记正四面体
的棱长为,过作于.
答12图2
因,有,故小三角形的边长.
小球与面不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)
.
又,,所以
.
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为.
1.(10)正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则.
解一:
如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,
.
设分别与平面、平面垂直的向量是、,则
由此可设,
所以,
即.
所以.
解二:
如图,.
设与交于点则
.
从而平面.
过在平面上作,垂足为.
连结,则为二面角的平面角.
设,则易求得
.
在直角中,,
即.
又.
.