余弦定理(一).docx

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　余弦定理

（一）

[学习目标]　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

知识点一　余弦定理及其证明

1.余弦定理的表示及其推论

文字语言

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

符号语言

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC

推论

cosA＝，

cosB＝，

cosC＝

2.余弦定理的证明

（1）课本上采用的证明方法：

如图，设a＝，b＝，c＝，则c＝b－a，

∴|c|2＝c·c＝（b－a）2＝a2－2a·b＋b2＝a2－2abcosC＋b2，

∴c2＝a2＋b2－2abcosC.

（2）利用坐标法证明

如图，建立直角坐标系，则A（0,0）、B（ccosA，csinA）、C（b,0）（写出三点的坐标）.

∴a＝BC＝

＝，

∴a2＝b2＋c2－2bccosA.

思考1　在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝.

答案　

解析　由题意知，cosA＝＝－＝－，

又A∈（0，π），∴A＝.

思考2　勾股定理和余弦定理的联系与区别？

答案　二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例.

知识点二　用余弦定理解三角形的问题

利用余弦定理可以解决以下两类问题：

（1）已知两边及夹角解三角形；

（2）已知三边解三角形.

思考　已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？

答案　不妨设已知a、b、A，

方法一　由正弦定理＝可求得sinB，进而得B，角C，最后得边c.

方法二　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得边c，而后由余弦或正弦定理求得B、C.

题型一　已知两边及夹角解三角形

例1　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A，B和边c的值（cos15°＝，sin15°＝）.

解　由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC

＝4＋8－2×2×2×＝8－4，

∴c＝＝＝－.

由正弦定理得sinA＝＝＝＝，

∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°，

∴c＝－，A＝30°，B＝135°.

跟踪训练1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A＋B）＝，则c等于（　　）

A.4B.C.3D.

答案　D

解析　由三角形内角和定理可知cosC＝－cos（A＋B）＝－，又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×（－）＝17，所以c＝.

题型二　已知三边（或三边的关系）

例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A、B、C.

解　根据余弦定理，cosA＝

＝＝.

∵A∈（0，π），∴A＝，

cosC＝＝＝，

∵C∈（0，π），∴C＝.

∴B＝π－A－C＝π－－＝π，

∴A＝，B＝π，C＝.

跟踪训练2　将例2中的条件改为“a∶b∶c＝2∶（6＋2）∶4”，求A、B、C.

解　∵a∶b∶c＝2∶（6＋2）∶4，

即＝＝，

不妨设＝k，则a＝2k，b＝（6＋2）k，c＝4k，

下同例题解法.

题型三　已知两边及其中一边的对角解三角形

例3　在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，A＝45°，求边c.

解　方法一　在△ABC中，根据余弦定理可得

a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－2c－6＝0，

所以c＝±3.

又c>0，所以c＝＋3.

方法二　在△ABC中，由正弦定理得

sinB＝＝＝，

因为b

又B∈（0°，180°），所以B＝30°，

所以C＝180°－A－B＝105°，

所以sinC＝sin105°＝sin（45°＋60°）＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝，

故c＝＝＝＋3.

跟踪训练3　已知在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，解此三角形.

解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得

（）2＝a2＋32－2×a×3×cos30°，

∴a2－3a＋6＝0，∴a＝或a＝2.

当a＝时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°；

当a＝2时，由正弦定理得

sinA＝＝＝1，

又∵A∈（0°，180°），∴A＝90°，C＝60°.

∴C＝60°，A＝90°，a＝2或C＝120°，A＝30°，a＝.

方法二　由bcsin30°知本题有两解.

由正弦定理，得sinC＝＝＝，

∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝＝2；

当C＝120°时，A＝30°＝B，∴a＝.

∴C＝60°，A＝90°，a＝2或C＝120°，A＝30°，a＝.

1.在△ABC中，符合余弦定理的是（　　）

A.c2＝a2＋b2－2abcosCB.c2＝a2－b2－2bccosA

C.b2＝a2－c2－2bccosAD.cosC＝

2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是（　　）

A.8B.2C.6D.2

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则（　　）

A.a>bB.a

4.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为.

5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝.

一、选择题

1.在△ABC中，给出下列条件

①A＝60°，C＝45°，b＝10②B＝30°，a＝5，c＝6

③B＝30°，a＝2，b＝1④a＝1，b＝3，c＝4

使三角形有一解的有（　　）

A.②④B.①④C.①②③D.①②④

2.在△ABC中，b＝5，c＝5，A＝30°，则a等于（　　）

A.5B.4C.3D.10

3.在△ABC中，a＝7，b＝8，sinC＝，则c等于（　　）

A.3B.C.3或D.6

4.已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为（　　）

A.60°B.90°C.120°D.150°

5.若三角形三边长分别为5,7,8，则它的最大角和最小角的和为（　　）

A.90° B.120°

C.135° D.150°

6.已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C的余弦值等于（　　）

A.B.C.－D.－

7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB等于（　　）

A.B.C.D.

8.在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦是（　　）

A.－B.－C.－D.－

二、填空题

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是.

10.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝.

11.△ABC的三边分别为a，b，c，且S△ABC＝，则C＝.

三、解答题

12.在△ABC中，已知（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角.

13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长.

当堂检测答案

1.答案　A

解析　由余弦定理及其推论知只有A正确.

2.答案　D

解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC

＝42＋62－2×4×6×（－）＝76，

∴c＝2.

3.答案　A

解析　cos120°＝＝＝－，

∴b＝a

4.答案　

解析　cosC＝＝＝，

又B∈（0，π），∴B＝.

5.答案　π

解析　cosB＝＝＝－，

又B∈（0，π），∴B＝π.

课时精练答案

一、选择题

1.答案　C

解析　①已知两角及一边；②已知两边及夹角；④已知三边均只有一解，但④中三边无法组成三角形.③中已知两边及一边的对角，可能有两解，但sinA＝1，又A∈（0°，180°），∴A＝90°.故只有一解.

2.答案　A

解析　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝52＋（5）2－2×5×（5）×＝25，∴a＝5.

3.答案　C

解析　∵sinC＝，∴cosC＝±＝±，

∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝72＋82－2×7×8×（±）＝9或217，

∴c＝3或.

4.答案　D

解析　由题意知，a2＋b2－c2＝－ab，

∴cosC＝＝＝－，

又C∈（0°，180°），∴C＝150°.

5.答案　B

解析　中间的角设为θ，则cosθ＝＝，

又θ∈（0°，180°），∴θ＝60°，

∴最大角和最小角之和为120°.

6.答案　D

解析　∵（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab.

∴（a＋b）2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，

∴cosC＝－.

7.答案　B

解析　cosB＝＝

＝＝.

8.答案　C

解析　c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×＝9，∴c＝3，

∴cosA＝＝＝－.

二、填空题

9.答案　

解析　bccosA＋accosB＋abcosC

＝＋＋

＝＝（32＋42＋62）＝.

10.答案　

解析　由题意知a＋b＝5，ab＝2，

∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝（a＋b）2－2ab－2abcosC

＝52－2×2－2×2×＝19，

∴c＝.

11.答案　45°

解析　S△ABC＝absinC＝（a2＋b2－c2）

＝（2abcosC），

∴sinC＝cosC，

又∵C∈（0°，180°），∴C＝45°.

三、解答题

12.解　不妨设＝k，则b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k，

∴a＝k，b＝k，c＝k，

可见a>b>c，∴A为最大内角，

∴cosA＝＝＝－，

又A∈（0°，180°），∴A＝120°.

13.解　已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4，

又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，

则b>c，从而知a>b>c，所以a为最大边，

故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc

＝（a－4）2＋（a－8）2＋（a－4）（a－8），

即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.

又b＝a－4>0，所以a＝14，

即此三角形的最大边长为14.