初三数学反比例函数的专项培优练习题含答案附答案docWord文档下载推荐.docx

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C，D中的一个点坐标为（

3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．

（I）当点A在x轴正半轴、点

B在y轴负半轴上时：

正方形ABCD的边长为

．

（II）当点A在x轴负半轴、点

B在y轴正半轴上时：

设正方形边长为a，易得3a=

，

解得a=，此时正方形的边长为．

∴所求“伴侣正方形”的边长为或

如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点

E、F，

易证△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵点D的坐标为（2，m），m＜2，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=2﹣m．

∴OF=BF+OB=2，

∴点C的坐标为（2﹣m，2）．

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

∴反比例函数的解析式为y=

（3）解：

实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开

口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：

另外一个顶

点为（4，1），对应的函数解析式是

y=﹣x2+；

b、当点A在x轴正半轴上，点

B在y轴正半轴上，点

D坐标为（3，4）时：

不存在，

c、当点A在x轴正半轴上，点

B在y轴负半轴上，点

C坐标为（3，4）时：

不存在

d、当点A在x轴正半轴上，点

点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y=x2+

；

e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点

C坐标为（3，4）时，另一个顶点D

的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣

x2+；

f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点

的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y=x2+；

故二次函数的解析式分别为：

y=x2+

或y=﹣x2+

或y=﹣

x2+或y=x2+

（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计

算正方形的边长.

（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点

D（2，m）的坐标

表示出点C的坐标，可求出

m的值，即可得到反比例函数的解析式．

（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点

也是在抛物线上，这个点既可能在点（

3，4）的左边，也可能在点（

3，4）的右边，过点

（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；

当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．

3．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．

（1）k的值是________；

（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=

图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形

CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若=，则b的值是________．

【答案】

（1）﹣2

（2）3

【解析】【解答】解：

（

1）设点

P的坐标为（

m，n），则点

Q的坐标为（

m﹣1，

n+2），

依题意得：

解得：

k=﹣2．

故答案为：

﹣2．

（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，

∴BO∥CE，

∴△AOB∽△AEC．

又∵

=，

∴==．

令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，

∴BO=b；

令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，

x=，即AO=．

∵△AOB∽△AEC，且=，

∴．

∴AE=AO=b，CE=BO=b，OE=AE﹣AO=b．

∵OE?

CE=|﹣4|=4，即b2=4，

b=3

，或b=﹣3

（舍去）．

3

【分析】

（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出

Q点的坐标，由点

P,Q均在一次函数

y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程

组，两式作差即可求出k的值；

（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出

==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE

的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数二次方程，解方程即可得出结论。

K的几何意义得出关于b的一元

4．已知：

O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为

s，且s=1+．

（1）当n=1时，求点A的坐标；

（2）若OP=AP，求k的值；

（3）设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值．

过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，

当n=1时，s=，

∴a==．

解法一：

∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n=．

∴1+=?

an．即n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

解法二：

∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n．

设△OPQ的面积为s1

则：

s1=∴?

mn=（1+），

即：

n4﹣4n2+4=0，

∵PA⊥OP，PQ⊥OA，

∴△OPQ∽△OAP．

设：

△OPQ的面积为s1，则=

=化简得：

化简得：

2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0

（k﹣2）（2k﹣n4）=0，

∴k=2或k=（舍去），

∴当n是小于20的整数时，k=2．

∵OP2=n2+m2=n2+又m＞0，k=2，

∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，

当n=2时，OP2=5，

当n=3时，OP2=32+=9+=，

当n是大于3且小于20的整数时，

即当n=4、5、619时，OP2的值分别是：

2

、6

+

4+

、5+

19+

∵192+＞182+

＞32+＞5，

∴OP2的最小值是5．

（1）利用△OPA面积定义构建关于

a的方程，求出A的坐标；

（2）由

已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，

由其面积构建关于

n的方程，转化

为k的方程，求出

k;

（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于

k的方程，

最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用

m、n的代数式表达OP2,,在n的

范围内求出OP2的最值.

5．如图、在矩形OABC中，，双曲线与矩形两边BC，AB

分别交于E，F两点.

（1）如图一，若E是BC中点，求点F的坐标；

（2）如图二，若将沿直线EF对折，点B恰好落在x轴上的点D处，求k的值.

【答案】

（1）解：

矩形OABC中，，，E是BC中点，

点.

点E在双曲线上，

.

点F的横坐标为4，且在双曲线上，

，即点；

过点E做轴于H点，

点点

，.

∽.

，，

（1）根据E点坐标求出k的值，而后把F点的横坐标代入反比例函数解

析式求出纵坐标；

（2）过点E做轴于H点，根据∽，分别用

表示出DF、AF、AD长度，根据勾股定理构造出关于k的方程.

k

6．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．

向下平移后，

（1）求m的值；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边

形OACD面积S的？

若存在，求点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

∵反比例函数的图象都经过点

A（3，3），

∴经过点A的反比例函数解析式为：

y=，

而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），

∴m=

∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点

B（6，），

与x轴、y轴分别交于C、D两点，而这些OA的解析式为y=x，

设直线CD的解析式为y=x+b

代入B的坐标得：

=6+b，

∴b=﹣4.5，

∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，

∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

分别把A、B、D的坐标代入其中得：

解之得：

a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5

∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5

如图，

设E的横坐标为x，

∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，

∴S1=（﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×

OC，

=（﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×

4.，5

=（﹣0.5x2+4x）×

而S=（3+OD）×

OC=（3+4.5）×

4.5=，

∴（﹣0.5x2+4x）×

4.5=，

解之得x=4±

，

∴这样的E点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+，0.5）．

（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函

数图像上，代入即可求得m的值；

（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结

合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求

得抛物线的解析式；

（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S

的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐

标.

7．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，

D，连接AB，BC，CD，DA．

（1）四边形ABCD一定是________四边形；

（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？

若可能，试求此时

k1，k2之间的关系式；

若不能，说

明理由；

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，a=

，b=，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】

（1）平行

∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=的图象在第一象限相交于A，

∴k1x=，解得x=（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）

将x=带入y=k1x得y=，

故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），

又∵OA=OB，

∴

=

，两边平方得：

+k1

+k

整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，

∵k≠k，

1

所以k1

k2﹣1=0，即k1k2=1；

∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，∴y1=，y2=，

∴a===，

∴a﹣b=﹣==，

∵x2＞x1＞0，

∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，

∴＞0，

∴a﹣b＞0，

∴a＞b．

（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，

∴OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

平行；

（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，即可得到结

论．

（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出=

，两边平分得+k1=+k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，

则k1k2﹣1=0，即可求得；

（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=

图象上的任意两点，得到y1=，y2=，求出a===，得到a﹣

b=﹣==＞0，即可得到结果．

8．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数

y2=的图象交于A、B两点，已知当x＞1

时，y1＞y2；

当0＜x＜1时，y1＜y2．

（1）求一次函数的函数表达式；

（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点

C到x轴的距离为2，求△ABC的面

积．

∵当x＞1时，y1＞y2；

当0＜x＜1时，y1＜y2

∴点A的横坐标为

1，

代入反比例函数解析式，=y，

解得y=6，

∴点A的坐标为（1，6），

又∵点A在一次函数图象上，

∴1+m=6，

解得m=5，

∴一次函数的解析式为y1=x+5

∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，

∴2=，解得x=3，

∴点C的坐标为（3，2），

过点C作CD∥x轴交直线AB于D，

则点D的纵坐标为2，

∴x+5=2，

解得x=﹣3，

∴点D的坐标为（﹣3，2），

∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，

点A到CD的距离为6﹣2=4，

联立，

解得（舍去），，

∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），

∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，

S△ABC=S△ACD+S△BCD=×

6×

4+×

3=12+9=21．

（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2

确定点A的横坐

标，然后代入反比例函数解析式求出点

A的纵坐标，从而得到点

A的坐标，再利用待定系

数法求直线解析式解答；

2）根据点C到x轴的距离判断出点

C的纵坐标，代入反比例函

数解析式求出横坐标，从而得到点

C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D

的坐标，然后得到

CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点

B的坐标，然后

△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．

9．已知一次函数y=-x-12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。

（1）求出A，C两点的坐标；

（2）在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解

析式；

（3）在

（2）的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向

C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC

相似?

若存在，求出所有m值；

若不存在，请说明理由。

在一次函数y=-x-12中，当x=0时，y=-12；

当y=0时,x=-16,即A（-16,0）,C（0,-12）

过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求。

则OC2=OA?

OB,此时OB=9,可求得B（9,0）；

此时经过A.B.C三点的抛物线的解析式为y=x2+x-12

当PQ∥BC时,如图

（1）,△APQ∽△ACB；

则有：

=,即=，

解得m=.

当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB；

有：

（1）令直线的解析式y=0，可得A的坐标，令x=0，可得C的坐标

（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定

理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.（3）本题可分两种

情况进行求解：

①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；

②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB.可根

据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.

10．如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于

点，点与点关于抛物线的对称轴对称.

（1

）求抛物线的解析式及点

的坐标:

（2

）点

是抛物线对称轴上的一动点，当

的周长最小时，求出点

的坐标;

（3

在轴上，且

，请直接写出点

的坐标.

根据题意得，

解得

抛物线的解析式为

抛物线的对称轴为直线

点与点关于抛物线的对称轴对称

点的坐标为

连接

点与点关于抛物线的对称轴对称.

为定值，

即

由

当的

值最小

三点在同一直线上时

解得，

的周长最小

在

当

的左侧，

两点坐标可求得直线

时，

的解析式为

的周长最小时，点

的坐标为

点坐标为或

（1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即

可求出点D坐标.

（2）A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，求出直