上海市徐汇区高三二模数学卷含答案.docx

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2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学　　2018.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知全集，集合，则.

2．在的二项展开式中，常数项是.

3．函数的定义域为_____________．

4．已知抛物线的准线方程是，则.

5．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．

6．已知实数满足则目标函数的最小值为___________．

7．函数的最小正周期是___________．

8．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于.

9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是.

10．已知直线.当在实数范围内变化时，与的交点恒在一个定圆上，则定圆方程是.

11．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是．

12．已知向量满足、，若对任意的，都有成立，则的最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．在四边形中，，且·＝0，则四边形是--------（）

（A）菱形 （B）矩形 （C）直角梯形 （D）等腰梯形

14.若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，

（），则复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（）

（A）第一象限．（B）第二象限．　（C）第三象限．（D）第四象限．

15．在中，“”是“”的------------（）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

16．如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正半轴于点，若点是切线上一点，则周长的最小值为------------------------------------------------------------------（）

（A）10（B）8（C）（D）12

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点．

（1）求长方体的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图：

某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．

（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数，其定义域为，

（1）当时，求函数的反函数；

（2）如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.

（1）求的值；

（2）若直线过点，求证：

；

（3）设直线与轴的交点为（为常数且），试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？

若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．

（1）求数列和的通项公式；

（2）当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：

，求该数列的前项和；

（3）设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？

若存在，求出（用表示）；若不存在，请说明理由．

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

数学学科参考答案及评分标准　　2018.4

一．填空题：

（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分

１．　2．20　　3．　4．　　5．　　　　6．

7．　　8．9．　10．11．12．　

二．选择题：

（本大题共有4题，满分20分，每题５分）

13．A　　　14．D　　　15．B　　　16．A

三．解答题：

（本大题共5题，满分74分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【解】

（1）连、．是直角三角形，．

是长方体，，，又，

平面，．

又在中，，，，．--------6分

（2）解法一：

如图建立空间直角坐标系

则、、、，所以、，10分

则向量与

所成角满足．

异面直线与所成的角等于．14分

解法二：

取的中点，连、．

，四边形为平行四边形，，等于异面直线与所成的角或其补角．----------------------------------------9分

，，，得，，，

，．

异面直线与所成的角等于．----------------------------14分

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【解】

（1）（公里），

中，由，得（公里）-------------------2分

于是，由知，

快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．---------------------------------------6分

（2）在中，由，

得（公里），------------------------------------------------------------8分

在中，，由，

得（公里），-----------------------------------------------------10分

由（分钟）

知，汽车能先到达处．-----------------------------------------------------------14分

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【解】

（1）；------------------------------------------------------6分

（2）若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分

若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分

当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是

，于是当或，即或时，

函数在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．

综上，．------------------------------------------14分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

【解】

（1）设，由于，

所以，

因为在椭圆上，于是，即，

所以.------------------------------------------------------------------4分

（2）设直线，，由

得，

于是，------------------------------------6分

．10分

（3）由于直线与轴的交点为，于是，

联立直线与椭圆的方程，可得

，

于是.-------------------------------------------------12分

因为直线，直线，

两式相除，可知

，

于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．16分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

【解】答案：

（1）因为，于是数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以，即，

当时，，又因为，所以.--------------2分

又因为，于是数列是等差数列，

设的前项和为，由于，则，由于，

所以．---------------------------------------------------------------------------------4分

（2）数列的前n项和，数列的前项和．----5分

当时，；-----------6分

当时，

；----------7分

当时，

；------------------------8分

所以，其中．------------------------------------------------10分

（3）由

（1）可知，.

若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，---------------------------------------11分

于是，

所以

，即，------------------------------------------13分

则对任意的，能整除，且.

由于当时，中存在多个质数，

所以只能取1或或------------------------------------------------14分

若，则，，于是

，符合；----------------------------15分

若，则，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分

若，则，于是，矛盾．-------------------------------17分

综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分

9/9