上海市高考数学试卷文科.doc

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2016年上海市高考数学试卷（文科）

一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.

1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为　　　　　　．

2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于　　　　　　．

3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：

2x+y﹣1=0，l2：

2x+y+1=0，则l1，l2的距离　　　　　　．

4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：

米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是　　　　　　（米）．

5．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=　　　　　　．

6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=　　　　　　．

7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为　　　　　　．

8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为　　　　　　．

9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　　　　　．

10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　　　　　．

11．（4分）（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　　　　　　．

12．（4分）（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是　　　　　　．

13．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是　　　　　　．

14．（4分）（2016•上海）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为　　　　　　．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.

15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

16．（5分）（2016•上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）

A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1

17．（5分）（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：

①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）

A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

三、简答题：

本大题共5题，满分74分

19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．

20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图

（1）求菜地内的分界线C的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．

21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．

（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．

22．（16分）（2016•上海）对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：

①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．

（1）若an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16项的和；

（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．

23．（18分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．

（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；

（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；

（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

2016年上海市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.

1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为　（2，4）　．

【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．

【解答】解：

∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，

∴﹣1＜x﹣3＜1，

解得2＜x＜4．

∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．

故答案为：

（2，4）．

【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．

2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于　﹣3　．

【分析】利用复数的运算法则即可得出．

【解答】解：

z===﹣3i+2，则z的虚部为﹣3．

故答案为：

﹣3．

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：

2x+y﹣1=0，l2：

2x+y+1=0，则l1，l2的距离　　．

【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．

【解答】解：

平行直线l1：

2x+y﹣1=0，l2：

2x+y+1=0，则l1，l2的距离：

=．

故答案为：

．

【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．

4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：

米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是　1.76　（米）．

【分析】将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可．

【解答】解：

将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80．

则位于中间的数为1.76，即中位数为1.76，

故答案为：

1.76

【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键．

5．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=　±3　．

【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a的值．

【解答】解：

由于函数f（x）=4sinx+acosx=sin（x+θ），其中，cosθ=，sinθ=，

故f（x）的最大值为=5，∴a=±3，

故答案为：

±3．

【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．

6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=　log2（x﹣1）（x＞1）　．

【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．

【解答】解：

∵点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．

∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．

把x与y互换可得：

f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．

故答案为：

log2（x﹣1），（x＞1）．

【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为　﹣2　．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

【解答】解：

画出可行域（如图），设z=x﹣2y⇒y=x﹣z，

由图可知，

当直线l经过点A（0，1）时，z最大，且最大值为zmax=0﹣2×1=﹣2．

故答案为：

﹣2．

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为　或　．

【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．

【解答】解：

方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，

即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]

解得x=或．

故答案为：

或．

【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．

9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　112　．

【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．

【解答】解：

∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，

∴2n=256，解得n=8，

∴（﹣）8中，Tr+1==，

∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．

故答案为：

112．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．

【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．

【解答】解：

可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，

由余弦定理可得，cosC===﹣，

可得sinC===，

可得该三角形的外接圆半径为==．

故答案为：

．

【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正