三角恒等变换知识点归纳.docx

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第三章三角恒等变换

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

⑴；⑵；

⑶；⑷；

⑸（）；

⑹（）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴．

⑵

升幂公式

降幂公式，．

26、

．

27、

（后两个不用判断符号，更加好用）

28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。

，其中．

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：

在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；

②；问：

；；

③；④；

⑤；等等

（2）函数名称变换：

三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：

在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：

降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公式有：

；。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：

；；

（5）公式变形：

三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：

；；

；；

；；

；；

；

=；

=；（其中；）

；；

（6）三角函数式的化简运算通常从：

“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：

见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：

；

。

基础练习

一选择题

1．已知且为锐角，则的值是（　　）

Ａ.　　　　　　Ｂ.　　　　　Ｃ.　　　　　　Ｄ.

2．设则的范围是（）

A．B.C.D、

3．（）

A．B、C.D.

4.若，若，则（）

A.B.C.D.

5.设，则的值是（）

A.B.C.D.

6.在中，已知则的值是（）

A.B.C.或D.

7.已知则的值等于（）

A.B.C.D.

8.使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为（　　）

Ａ.　　　　　Ｂ.　　　　　Ｃ　　　　　Ｄ

9.已知是第三象限角，且满足，那么的值等于（　　）

Ａ　　　　　Ｂ　　　　Ｃ　　　　　　　Ｄ

10.已知则等于（　　）

Ａ　　　　　　Ｂ　　　　Ｃ　　　　　　Ｄ

11.若则的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.已知，则等于（）

A.B.C.D.

13函数有（）

A.最大值0，最小值B.最大值5，最小值

C.最大值5，最小值D.最大值，最小值

14.函数的最大值为（）

A.B.C.D.

15.函数的最大值是（）

A．B.C.D.

16.函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为（）

A．B．C．D．2

17.的值是（）

A.B.C.D.

18.若则的值为（）

A.B.C.D.

19.中，若，则一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

20.函数的最小正周期为（）

A.B.C.D.

二填空题

1.已知则

2.函数的最大值等于

3.已知则

4.若则的取值范围是

5.函数的最小正周期是_____

6.在中，，则

7.在三角形ABC中，若则=

8.若则

9.已知那么

10.在中，已知则

11.函数的最小正周期是_____

12.已知，则

13.．

14.在中，那么的值为．

15.函数（为锐角）的值域是．

16.若，且则．

17.化简

18.在中，，则的形状是

19.设，若且，则的范围是

20.若的值域是，则此函数的表达式是

三解答题

1.已知，求的值．

2.已知且求的值．

3.已知．

（1）化简；

（2）求使的最小正角．

4.某工人要从一块圆心角为，半径为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面积．

高考试题库

w。

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w。

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5.已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

6.已知求的值．

7.求证：

8.求证：

．

高考试题库

w。

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w。

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9.已知求的值．

10.在中，求证：

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强化练习

一选择题

1．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

[答案]　B

[解析]　cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°

＝cos（45°－15°）＝cos30°＝.

2．cos等于（　　）

A.－cosα B.cosα

C.cosα＋sinα D.cosα－sinα

[答案]　C

[解析]　cos＝coscosα＋sinsinα

＝cosα＋sinα.

3．cos165°等于（　　）

A. B.

C．－ D．－

[答案]　C

[解析]　cos165°＝cos（180°－15°）＝－cos（45°－30°）＝－（cos45°cos30°＋sin45°sin30°）＝－.

4．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是（　　）

A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝

C．α＝，β＝ D．α＝，β＝

[答案]　B

[解析]　由条件cosαcosβ＝－sinαsinβ得

cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos（α－β）＝，α＝，β＝满足条件．

5．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于（　　）

A. B.

C．－ D．－

[答案]　B

[解析]　cos39°cos9°＋sin39°sin9°

＝cos（39°－9°）＝cos30°＝.

6．cos555°的值为（　　）

A. B．－

C. D.

[答案]　B

[解析]　cos555°＝cos（360°＋195°）＝cos（180°＋15°）

＝－cos15°＝－cos（45°－30°）

＝－（cos45°cos30°＋sin45°sin30°）

＝－.

7．（福建高考）计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

[答案]　A

[解析]　∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin（43°－13°）＝sin30°＝.∴选A.

8．（新课标高考）若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin（α＋）等于（　　）

A．－ B.

C．－ D.

[答案]　A

[解析]　sin（α＋）＝（sinα＋cosα）＝（－－）＝－.

9．在△ABC中，sinAsinB

A．直角三角形 B．钝角三角形

C．锐角三角形 D．等腰三角形

[答案]　B

[解析]　由题意，得cosAcosB－sinAsinB>0，

则cos（A＋B）>0，所以cos（π－C）>0，

即cosC<0，所以∠C是钝角．

10．（2011～2012·杭州高一检测）下列命题中不正确的是（　　）

A．存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

C．对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

[答案]　B

[解析]　若sinα或sinβ有一个为0，即α＝kπ（k∈Z）或β＝kπ（k∈Z）则有cos（α＋β）＝cosαcosβ，故A、C、D正确，选B.

11．下列等式成立的是（　　）

A．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝

B．sin13°cos17°－cos13°sin17°＝

C．sin70°cos25°＋sin25°sin20°＝

D．sin140°cos20°＋sin50°sin20°＝

[答案]　D

12．cos的值等于（　　）

A. B.

C. D.

[答案]　C

[解析]　cos＝－cos＝－cos

＝－

＝－＝.

13．已知tanα＝4，tan（π－β）＝－3，则tan（α＋β）＝（　　）

A.　　　 B．－　　

C.　　　 D．－

[答案]　B

[解析]　由已知得tanα＝4，tanβ＝3，

∴tan（α＋β）＝＝＝－.

14．tan20°＋tan40°＋tan