上海高中数学知识点梳理与巩固复习).doc

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高中知识梳理

一集合与不等式

一、集合

1、集合的相关概念：

2、集合的属性：

1）确定性；2）互异性；3）无序性。

3、有限集、无限集、空集（不含任何元素的集合，记作。

空集是有限集。

）

4、集合之间的关系：

子集、真子集、集合的相等

【小秘书】

（1）任何一个集合是它本身的子集；

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

（3）子集个数的计算：

由个元素组成的集合，其子集的个数为个，真子集个数为个。

5、集合的运算：

交集、并集、补集

【小秘书】

（1）如果，则，；

（2），。

6、四种命题的形式：

原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

7、等价命题：

如果是两个命题，，，那么叫做等价命题。

原命题与它的逆否命题是等价命题，要么同真，要么同假。

8、

（1）如果，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；

（2）如果，同时，那么是的充要条件。

二、不等式的基本性质

1、，（传递性）

2、（加法性质）

3、，

，（乘法性质）

4、，

5、，

6、

7、（）

8、（，）

三、不等式的解法

1）一元二次不等式的解法

2）一元高次不等式的解法：

一般用数轴标根法求解

3）分式不等式的解法

思想：

等价转化为同解的整式不等式（组）。

方法：

数轴标根法。

4）含有绝对值的不等式的解法

思想：

去绝对值。

方法：

（1）根据绝对值的意义进行分类讨论；

（2）当不等式两边非负时，同时平方，去掉绝对值。

四、基本不等式

1、对任意实数，（当且仅当时，等号成立）

2、对任意正数，（当且仅当时，等号成立）

3、用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。

利用基本不等式求最值要注意三点：

一正，二定，三相等。

二函数及其基本性质

一、函数三要素

函数解析式、定义域、值域

1、函数解析式的求法

待定系数法；换元法；方程组法等

2、函数值域的求法

换元法；配方法；判别式法；分离常数法；数形结合；基本不等式；利用函数有界性；利用函数单调性

二、函数的基本性质

1、函数的周期性

常见形式：

函数满足对定义域内任一实数（其中为非零常数）,

1、，则是以为周期的周期函数；

2、，则是以为周期的周期函数；

3、，则是以为周期的周期函数；

4、，则是以为周期的周期函数。

2、数的奇偶性

1）定义：

设，，如果对于任意，都有，则称函数为奇函数；

如果对于任意，都有，则称函数为偶函数。

2）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

3）是偶函数的图象关于轴对称；

是奇函数的图象关于原点对称。

4）若奇函数的定义域包含，则。

5）判断函数奇偶性的方法：

①定义法：

首先判断其定义域是否关于原点对称；

若不对称，则为非奇非偶函数；

若对称，则再判断或是否成立。

②性质法：

奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇。

3、函数单调性

1）定义：

对于函数的定义域D内某个区间上自变量的任意两个值

（1）若当<时，都有<，则说在这个区间上是增函数；

（2）若当<时，都有>，则说在这个区间上是减函数。

2）判断（证明）函数单调性的一般步骤是：

⑴取：

设,是给定区间内的任意两个值，且<；

⑵比：

作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；

⑶判断：

－的正负（要注意说理的充分性）；

⑷定：

根据－的符号，结合单调性的定义确定函数的增减性。

三、基本初等函数

1、幂函数的图象与性质：

幂函数

分三种情况：

2、指数函数的图象与性质

图象

性

质

定义域

R

值域

定点

单调性

单调递增

单调递减

时，；

时，；

时，.

时，；

时，；

时，.

对称性

函数与的图象关于y轴对称

3、对数函数的图像与性质

图

像

性

质

定义域：

（0，+∞）；值域：

R

过定点（1，0）

时，；

时，

时，；

时，

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

【小秘书】

（1）底数互为倒数的两个对数函数的图像关于轴对称；

（2）和时函数的性质是不一样的，所以解题时，如果没有明确告诉底数时，注意

要进行分类讨论。

4、对数

（1）对数与指数之间的关系：

若，则.（其中）

（2）对数恒等式

，，

换底公式：

（3）对数的运算法则：

5、函数图像变换

1）平移变换：

左加右减，上加下减

2）对称变换：

⑴与关于y轴对称；

⑵与关于x轴对称；

⑶与关于原点对称；

⑷与关于对称。

⑸的图象可将的图象在x轴上方的部分保留（如果有），在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方；

⑹的图象可将的图象在y轴左边的部分去掉，将y右边的图像沿y轴翻折到y轴左边，同时保留y轴右边部分图像。

3）伸缩变换：

⑴的图象，可将图象上所有的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变。

⑵的图象，可将图象上所有的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变。

6、反函数

1）反函数的性质：

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域一一对应；

　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

　　（4）一般的偶函数一定不存在反函数（但一种特殊的偶函数存在反函数，偶函数的反函数，这是一种极特殊的函数），奇函数不一定存在反函数，如果有，其反函数也为奇函数。

2）求反函数的一般步骤：

①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

②由的解析式求出；

③将x、y对换，得反函数的习惯表达式，并注明其定义域。

【小秘书】①由的解析式求出时，如果出现两解的情况，则要根据x的取值范围进行取舍。

②分段函数的反函数的求法：

先分别求出每一段函数的反函数，再将它综合成一个函数。

四、三角比与三角函数

一）同角三角比的基本关系式

（1）平方关系：

，，

（2）倒数关系：

，，

（3）商数关系：

，

【小秘书】同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。

在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便确定符号.

二）诱导公式

口诀：

奇变偶不变，符号看象限。

三）两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

四）三角比的化简、计算、证明

【基本思路】：

一角二名三结构。

【小秘书】基本的技巧有：

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如，，，，等）。

（2）三角函数名互化（切割化弦）。

（3）公式变形使用（如：

。

（4）三角函数次数的降升（降幂公式与升幂公式）。

（5）式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）。

（6）“1”的反带（等）

（7）正余弦“三兄妹—”的内在联系——“知一求二”。

五）辅助角公式:

六）1、三角函数的图象与性质：

2、的图象与性质：

七）解斜三角形：

正弦定理：

（其中为外接圆的半径）

余弦定理：

或

八）反三角函数：

1、定义：

的定义域是[-1，1]，值域是，奇函数，增函数；

的定义域是[-1，1]，值域是，非奇非偶，减函数；

的定义域是R，值域是，奇函数，增函数；

2、性质：

当；

3、最简三角方程的解集：

三数列与极限

一、等差数列

1、等差数列的定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

2、如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

即：

或

3、等差数列的通项公式：

。

【小秘书】该公式整理后是关于n的一次函数

4、等差数列的前n项和：

或【对于此公式整理后是关于n的没有常数项的二次函数】

5、等差数列的性质：

①当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列。

②等差数列任意两项间的关系：

，d=，d=。

③对于等差数列，若，则。

④等差数列中每隔相同项数取出依次组成新数列还是等差数列；

⑤若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，，…成等差数列。

如下图所示：

，…..

6、等差数列的判定方法：

①定义法：

对于数列，若（常数），则数列是等差数列；

②等差中项：

对于数列，若，则数列是等差数列；

7、任意类型的数列与的关系式：

。

【小秘书】一定要注意分类讨论。

二、等比数列

1、等比数列的概念：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母q表示。

2、等比中项：

如果，那么叫作的等比中项。

3、等比数列的判定方法：

①定义法：

对于数列，若，则数列是等比数列；

②等比中项：

对于数列，若，则数列是等比数列；

4、等比数列的通项公式：

5、等比数列的前n项和公式：

当时，；

当时，

【小秘书】

（1）当公比不确定时，必须分情况进行讨论；

（2）当时，前n项和必须具备形式。

6、等比数列的性质：

（1）若是等比数列，则；（）

（2）若是等比数列，，当时，

特别地，当时，

（3）若是等比数列，则下标成等差数列的子数列构成等比数列；

（4）若数列是等比数列，是其前n项的和，，一般地，，，也成等比数列。

如下图所示：

【小秘书】

（1）对于上述结论，在“且为偶数”的情况下不成立；

（2）对于等比数列的前n项积的类似性质如何？

若数列是等比数列，是其前n项的和，，一般地，，，也成等比数列。

（5）两个等比数列与的积、商、倒数构成的数列、、仍为等比数列。

三、常见数列求和的方法

一）基本公式：

1.等差数列的前项和公式：

，

2．等比数列的前n项和公式：

当时，或。

当q=1时，。

二）常用数列的前n项和：

；

；

方法一倒序相加法

方法二拆项法（分组求和法）

方法三裂项相消法

方法四错位相减法

四、数学归纳法

1、数学归纳法的原理：

证明过程中一定要用归纳假设。

2、用数学归纳法解决探索