直线与平面平面与平面平行的性质文档格式.docx
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∴AP∥平面BDM.
又∵AP⊂平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,∴AP∥GH.
跟踪训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1上不同于B、B1的任一点,AB1∩A1E=F,B1C∩C1E=G.求证:
AC∥FG.
证明 ∵AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1EC1,AC⊄平面A1EC1,
∴AC∥平面A1EC1.
又∵平面A1EC1∩平面AB1C=FG,
∴AC∥FG.
题型二 面面平行性质定理的应用
例2 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点,求证:
MN∥平面α.
证明 ①若AB、CD在同一平面内,则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.
∵α∥β,∴AC∥BD.
又M、N为AB、CD的中点,∴MN∥BD.
又BD⊂平面α,MN⊄平面α,∴MN∥平面α.
②若AB、CD异面,
如图,过A作AE∥CD交α于E,取AE的中点P,连接MP、PN、BE、ED.
∵AE∥CD.
∴AE、CD确定平面AEDC.
则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC,∵α∥β,∴ED∥AC.
又P、N分别为AE、CD的中点,
∴PN∥ED,又ED⊂平面α,PN⊄平面α,
∴PN∥平面α.
同理可证MP∥BE,∴MP∥平面α,
∵AB、CD异面,∴MP、NP相交.
∴平面MPN∥平面α.
又MN⊂平面MPN,∴MN∥平面α.
跟踪训练2 如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AC=15cm,DE=5cm,AB∶BC=1∶3,求AB,BC,EF的长.
解 如图,连接AF,交β于点G,
连接BG,GE,AD,CF.
因为平面α∥平面β∥平面γ,
所以BG∥CF,GE∥AD.
所以
=
.
所以AB=
cm,EF=3DE=15cm,
BC=AC-AB=
cm.
题型三 平行关系的综合应用
例3 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,能否确定截面的形状?
如果能,求出截面的面积.
解 能,如图,取AB,C1D1的中点M,N,连接A1M,MC,CN,NA1.
∵平面A1C1∥平面AC,平面A1C∩平面A1C1=A1N,平面AC∩平面A1C=MC,
∴A1N∥MC.
同理,A1M∥NC.∴四边形A1MCN是平行四边形.
∵C1N=
C1D1=
A1B1=A1P,C1N∥A1P,
∴四边形A1PC1N是平行四边形,
∴A1N∥PC1且A1N=PC1.
同理,A1M∥BP,A1M=BP.
又∵A1N∩A1M=A1,C1P∩PB=P,
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
故过点A1与截面PBC1平行的截面是▱A1MCN.
连接MN,作A1H⊥MN于点H.
由题意,易得A1M=A1N=
,MN=2
∴MH=NH=
,∴A1H=
故
=2×
×
2
=2
跟踪训练3 如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.
求证:
CD∥平面EFGH.
证明 ∵四边形EFGH是平行四边形,∴EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,
∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD,
平面ACD∩平面BCD=CD,∴EF∥CD.
又∵EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,
∴CD∥平面EFGH.
转化与化归思想
例4
如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:
l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?
试证明你的结论.
分析 欲证明线线平行可考虑线面平行的性质,欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质.
(1)证明 因为AD∥BC,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.
所以AD∥平面PBC.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,
所以l∥BC.
(2)解 平行.证明如下:
如图,
取CD的中点Q,连接NQ,MQ.
因为M,N分别是AB,PC的中点,
所以MQ∥AD,NQ∥PD.
因为MQ∩NQ=Q,AD∩PD=D,
所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN⊂平面MNQ,所以MN∥平面PAD.
忽视定理的条件
例6 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:
四边形BED1F是平行四边形.
分析 已知E,F两点为正方体棱的中点,若证四边形BED1F为平行四边形,则先证B,E,D1,F四点共面,再证四边形BED1F为平行四边形.
证明 如图,连接AC,BD,交点为O;
连接A1C1,B1D1,交点为O1.连接BD1,EF,OO1.
设OO1的中点为M.
由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.
又因为E,F分别为AA1,CC1的中点,
所以EF过OO1的中点M,同理四边形BDD1B1为矩形,
BD1过OO1的中点M,
所以EF与BD1相交于点M.
所以E,B,F,D1四点共面.
又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,
平面EBFD1∩平面ADD1A1=ED1,
平面EBFD1∩平面BCC1B1=BF,
所以ED1∥BF.
同理,EB∥D1F.
所以四边形BED1F是平行四边形.
1.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线( )
A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交
C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交
2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,下列推理正确的是( )
A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥b
B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥β
C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
3.若不在同一直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A∉α,则( )
A.α∥平面ABC
B.△ABC中至少有一边平行于α
C.△ABC中至多有两边平行于α
D.△ABC中只可能有一边与α相交
4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=
,过点P,E,F的平面与棱CD交于Q,则PQ=________.
5.如图所示的正方体的棱长为4,E,F分别为A1D1,AA1的中点,过C1,E,F的截面的周长为________.
一、选择题
1.如图,在四面体A-BCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )
A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMN
C.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°
2.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶25 B.4∶25
C.2∶5D.4∶5
3.设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.不论A,B如何移动,都共面
4.如图,四棱锥PABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
5.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A.至少有一条B.至多有一条
C.有且只有一条D.没有
6.下列结论中,正确的有( )
①若a⊄α,则a∥α
②a∥平面α,b⊂α,则a∥b
③平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则a∥b
④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a,则a⊂α
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为( )
A.都平行B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点
二、填空题
8.已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:
①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β;
②若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β;
③若a∥α,a∥β,则α∥β;
④若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β;
⑤若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b.
其中正确命题的序号是________.
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
10.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB、AC分别交平面α于点E、F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=________.
三、解答题
11.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.
平面MNG∥平面ACD;
(2)求S△MNG∶S△ADC.
12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:
MN∥平面AA1B1B.
当堂检测答案
A.只和这个平面内的一条直线平行
B.只和这个平面内两条相交直线不相交
C.和这个平面内的任何一条直线都平行
D.和这个平面内的任何一条直线都不相交
课时精练答案
1.答案 C
解析 ∵截面PQMN为正方形,∴PQ∥MN,从而易得PQ∥面DAC.又∵面ABC∩面ADC=AC,PQ⊂面ABC,∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM,∠PMQ=45°
,∴AC⊥BD,且异面直线PM与BD所成的角为45°
.故选项A、B、D正确.
2.答案 B
解析 ∵平面α∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴A′B′∥AB.同理B′C′∥BC,A′C′∥AC,从而易得△A′B′C′∽△ABC,且
,
∴S△A′B′C′∶S△ABC=
2=
3.答案 D
解析 如图所示,A′,B′分别是A,B两点在α,β上运动后的两点,此时AB中点变成A′B′中点C′.连接A′B,取A′B的中点E,连接CE,C′E,CC′,AA′,BB′.则CE∥AA′,从而易得CE∥α.同理C′E∥β.又∵α∥β,∴C′E∥α.∵C′E∩CE=E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.故不论A,B如何移动,所有的动点C都在过点C且与α,β平行的平面上.
4.答案 B
解析 ∵MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,
平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.
5.答案 B
解析 设这n条直线的交点为P,则P∉a,∴直线a和点P确定一个平面β.设α∩β=b,则P∈b.又∵a∥α,∴a∥b.显然直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.
6.答案 A
解析 ①中,a与α也可能相交,故①不正确;
②③中,a与b也可能异面,故②③不正确;
④中,∵a∥β,α∥β,∴a∥α或a⊂α,又∵P∈a,P∈α,∴a⊂α,故④正确.
7.答案 D
解析 ∵l⊄α,∴l∥α或l与α相交.
①若l∥α,则由线面平行的性质定理可知l∥a,l∥b,l∥c,…,
∴a,b,c,…,这些交线都平行.
②若l与α相交,不妨设l∩α=A,则A∈l,又由题意可知A∈a,A∈b,A∈c,…,∴这些交线交于同一点A.
综上可知D正确.
8.答案 ②⑤
解析 ①错误,α与β也可能相交;
②正确,依题意,由a,b确定的平面γ,满足γ∥α,γ∥β,故α∥β;
③错误,α与β也可能相交;
④错误,α与β也可能相交;
⑤正确,由线面平行的性质定理可知.
9.答案
解析 因为EF∥平面AB1C,且EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又因为E为AD的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以EF=
AC=
10.
答案
解析 EF可看成为直线a与点A确定的平面与平面α的交线,∵a∥α,由线面平行的性质定理知,BC∥EF,由条件知AC=AF+CF=3+5=8.
又
,∴EF=
11.
(1)证明 如图,连接BM,BN,BG并分别延长交AC,AD,CD于P,F,H.
∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,
则有
=2.
连接PF,FH,PH,有MN∥PF.
又PF⊂平面ACD,MN⊄平面ACD,
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD.
又MG∩MN=M,∴平面MNG∥平面ACD.
(2)解 由
(1)可知,
∴MG=
PH.
又PH=
AD,∴MG=
AD.
同理NG=
AC,MN=
CD,
∴△MNG∽△ADC,且相似比为1∶3,
∴S△MNG∶S△ADC=1∶9.
12.证明 如图,作MP∥BB1交BC于点P,连接NP,
∵MP∥BB1,∴
∵BD=B1C,DN=CM,
∴B1M=BN,∴
∴
∴NP∥CD∥AB.
∵NP⊄平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1,MP⊄平面AA1B1B,
BB1⊂平面AA1B1B,
∴MP∥平面AA1B1B.
又∵MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,MP∩NP=P,
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN⊂平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B.