平面与平面平行教案.docx

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平面与平面平行教案

1.2.2　空间中的平行关系（4）——平面与平面平行

自主学习

学习目标

1．掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示．

2．理解两平面平行的判定定理及性质定理，并能应用定理．证明线线、线面、面面的平行关系．

自学导引

1．两个平面平行的定义：

________________________________________________________________________.

2．平面与平面平行的判定定理：

__________________________________________________________.

图形表示：

符号表示：

________________________________________________________________________.

推论：

如果一个平面内有两条____________分别平行于另一个平面内的__________，则这两个平面平行．

3．平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________________．

符号表示：

若平面α、β、γ满足________________________，则a∥b.

上述定理说明，可以由平面与平面平行，得出直线与直线平行．

对点讲练

知识点一　平面与平面平行的判定

例1

　已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点．

求证：

平面A1EF∥平面E1BCF1.

点评　要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化：

线线平行

线面平行

面面平行．

变式训练1　正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．

求证：

平面AMN∥平面EFDB.

知识点二　用面面平行的性质定理证线面平行与线线平行

例2

　已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：

（1）MN∥平面PAD；

（2）MN∥PE.

点评　该题充分体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系．一般来说，证线面平行时，若用线面平行的判定定理较困难，改用面面平行的性质是一个较好的想法．

变式训练2　

如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.

求证：

EF∥平面BB′C′C.

知识点三　综合应用

例3

　如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝

a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？

证明你的结论．

点评　解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明．

变式训练3　

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______时，有MN∥平面B1BDD1.

1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：

2．注意两个问题

（1）一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．

（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面.

课时作业

一、选择题

1．设平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在惟一一条与a平行的直线

2．对于直线m、n和平面α，下列命题中是真命题的是（　　）

A．如果mα，nα，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果mα，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果mα，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

3．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）

A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2

4．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C（　　）

A．不共面

B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．不论A、B如何移动，都共面

5．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是（　　）

A．平面ABC必平行于α

B．平面ABC必与α相交

C．平面ABC必不垂直于α

D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

题　号

1

2

3

4

5

答　案

二、填空题

6．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题（m，n为直线，α，β为平面），则此条件应为________．

α∥β

7．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．

8．下列命题正确的是________．（填序号）

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．

三、解答题

9．已知两条异面直线BA、DC与两平行平面α、β分别交于B、A和D、C，M、N分别是AB、CD的中点．求证：

MN∥平面α.

10.

如图所示E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，

求证：

（1）GE∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.

【答案解析】

自学导引

1．没有公共点的两个平面

2．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αβ∥α

相交直线　两条直线

3．它们的交线平行　α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b

对点讲练

例1

　证明　

∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC.

∵EF平面E1BCF1，

BC平面E1BCF1，

∴EF∥平面E1BCF1.

∵A1E1

EB，

∴四边形EBE1A1是平行四边形，

∴A1E∥E1B.

∵A1E平面E1BCF1，E1B平面E1BCF1，

∴A1E∥平面E1BCF1.

又∵A1E∩EF＝E，∴平面A1EF∥平面E1BCF1.

变式训练1　证明　

如图，连接A1C1，AC.

设A1C1分别交MN、EF于P、Q，

AC交BD于O.

连接AP，OQ，B1D1.

在矩形A1ACC1中，PQ∥AO，

∵M、N、E、F分别是所在棱的中点，

∴MN

D1B1，EF

D1B1，

∴P、Q分别是四等分点，∴PQ＝

AC，

又∵AO＝

AC，∴PQ

AO.

∴四边形PQOA为平行四边形，∴AP∥OQ.

∴AP∥平面EFDB.又∵MN∥B1D1，EF∥B1D1，

∴EF∥MN，∴MN∥平面EFDB，

∴平面AMN∥平面EFDB.

例2

　证明　

（1）取DC中点Q，连接MQ、NQ.

∵NQ是△PDC的中位线，

∴NQ∥PD.

∵NQ平面PAD，PD平面PAD，

∴NQ∥平面PAD.

∵M是AB中点，ABCD是平行四边形，

∴MQ∥AD，MQ平面PAD，AD平面PAD.

从而MQ∥平面PAD.

∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.

∵MN平面MNQ，∴MN∥平面PAD.

（2）∵平面MNQ∥平面PAD，

平面PEC∩平面MNQ＝MN，

平面PEC∩平面PAD＝PE.∴MN∥PE.

变式训练2　证明　方法一　连接AF延长交BC于M，连接B′M.

∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，

∴

＝

.

又∵BD＝B′A，B′E＝BF，

∴DF＝AE.∴

＝

.

∴EF∥B′M，

又∵B′M平面BB′C′C，EF面BB′C′C，

∴EF∥平面BB′C′C.

方法二　作FH∥AD交AB于H，连接HE.

∵AD∥BC，∴FH∥BC，

又∵BC平面BB′C′C，FH平面BB′C′C，

∴FH∥平面BB′C′C.

由FH∥AD，可得

＝

，

又BF＝B′E，BD＝AB′，∴

＝

，

∴EH∥BB′，

∵B′B平面BB′C′C，EH面BB′C′C，

∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H，

∴平面FHE∥平面BB′C′C，

∵EF平面FHE，∴EF∥平面BB′C′C.

例3

　解　

如图所示，当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，

证明如下：

取PE的中点M，连接FM，

则FM∥CE.①

由EM＝

PE＝ED知，E是MD的中点，连接BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，

所以BM∥OE.②

又BM∩FM＝M，③

由①②③可得，平面BFM∥平面AEC.

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC.

变式训练3　M∈线段FH

解析　∵HN∥BD，HF∥DD1，

HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，

∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意点M与N连接，

有MN∥平面B1BDD1.

课时作业

1．D　[直线a与B可确定一个平面γ，

∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b.

由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．

因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b惟一．]

2．C　[若mα，nα，m，n是异面直线，如图

（1）所示，此时n与α相交，故A不正确．B项若mα，nα，m，n是异面直线，如图

（2）所示，此时m与n为异面直线，而n与α平行，故B不正确．D项如果m∥α，n∥α，m，n共面，如图（3）所示，m与n可能相交，故D不正确．]

3．B　

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥面A1B1CD，CD∥面A1B1BA，但面A1B1CD与面A1B1BA相交，故A不正确；取AD中点为E，BC中点为F，则EF∥面ABB1A1，C1D1∥面ABB1A1，但面ABB1A1与面EFC1D1不平行，故C不对；虽然EF∥AB且C1D1∥面A1B1BA，但是面EFC1D1与面A1B1BA不平行，故D不正确．

对于选项B，当l1∥m，l2∥n且mα，nα时，有l1∥α，l2∥α.又l1与l2相交且都在β内，∴α∥β，而α∥β时，无法推出m∥l1且n∥l2.∴l1∥m且l2∥n是α∥β的充分不必要条件．]

4．D　

如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E.

则CE∥AA′，∴CE∥α.

C′E∥BB′，∴C′E∥β.

又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.

∴平面CC′E∥平面α.

∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]

5．D　[A，B，C在平面α的异侧时，A错；而A，B，C在平面α同侧时，B错；A，B，C在平面α的异侧时，平面ABC有可能垂直于平面α，C错．]

6．m，n相交

7．相似

解析　由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，

由面与面平行的性质知AB∥A′B′，

同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似．

8．③④

9.

证明　过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，

连接MP、PN、BE、ED.

∵AE∥CD，

∴AE、CD确定平面AEDC.

则平面AEDC∩α＝DE，

平面AEDC∩β＝AC，

∵α∥β，∴AC∥DE.

又P、N分别为AE、CD的中点，

∴PN∥DE.PNα，DEα，

∴PN∥α.又M、P分别为AB、AE的中点，

∴MP∥BE，且MPα，BEα，

∴MP∥α，又∵MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α.

又MN平面MPN，∴MN∥α.

10．证明　

（1）取B1D1中点O，连接GO，OB，

易证OG∥B1C1，

且OG＝

B1C1，

BE∥B1C1，且BE＝

B1C1，

∴OG∥BE且OG＝BE，

四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.

∵OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，

∴GE∥平面BDD1B1.

（2）由正方体性质得B1D1∥BD，

∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，

∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，

易证四边形HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.

∵HD1平面BDF，BF平面BDF，

∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，

∴平面BDF∥平面B1D1H.