三角函数高考常见题型.doc
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三角函数高考常见题型
三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。
分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下五类：
一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
例题1.（2012全国卷大纲7）已知为第二象限角，，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】.
例题2.【2012高考真题山东理7】若，，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】
例题3.（2011浙江）（6）若，，，，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】
例4.已知向量。
（1）若，求的取值范围；
（2）函数，若对任意，恒有,求的取值范围。
解：
（1），
即。
（2）。
，
又
【习题1】
1.【2012高考真题辽宁理7】已知，（0，π），则=
（A）1（B）（C）（D）1【答案】
2.【2012高考真题江西理4】若tan+=4,则sin2=
A．B.C.D.【答案】
3.【2012高考重庆文5】
（A）（B）（C）（D）【答案】
4.【2012高考真题四川4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（）
A、B、C、D、【答案】
5.（2012考江苏11）为锐角，若，则的值为▲；
若，则等于.
6.已知a∈（，），sinα=，则tan2α=【答案】
二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。
例题1.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）
【答案】A
【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，
则，
即，
所以，
当时，，又，所以有，
解得，即，选A.
例题2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】因为和是函数图象中相邻的对称轴，所以，即.又，所以，所以，因为是函数的对称轴所以，所以，因为，所以，检验知此时也为对称轴，所以选A.
例题3.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）（A）2（B）4（C）6（D）8
解：
函数和函数
的图像有公共的对称中心，且函数的周期为2，做出两个函数在同一坐标系内的图像，在区间上有两个交点，根据对称性，在上也有两个交点，故所有交点横坐标之和为4，选。
例题4若，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时，的最大值为1。
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的值。
解：
由题意得，
（1）∵对称中心到对称轴的最小距离为，∴的最小正周期，
。
当时，，。
。
（2）由，得，由，得。
故。
【习题2】
1.已知函数的图像与一条与轴平行的直线有三个交点，其中横坐标分别为，则【答案】
2.已知函数为常数，的图像关于对称，
则函数是（）
（A）偶函数且它的图象关于点对称（B）偶函数且它的图象关于点对称
（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）奇函数且它的图象关于点对称
【答案】
3.（2006年湖南文）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是（）
A．2π B.π C. D.
【答案】
4.（2012年全国卷.理科14）函数取最大值时，
【答案】.
5.已知对于任意实数都有成立，且，则实数的值为.【答案】或.
三、三角函数的图像及性质
【例题】1.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
【答案】
【例题】2.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】
【例题3】（2012宁波市十校联考.文科）矩形中，轴，且矩形恰好完全覆盖的一个完整周期的图像，当变化时，矩形周长的最小值为 ；
【答案】
【例题】4.（江西2009年卷.理科18）
如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
解：
（1）将，代入函数得，
因为，所以．又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．即或．
【习题3】
1.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（D）
（A） （B） （C） （D）
2．函数的部分图象是（D）
3.①存在使
②存在区间（a，b）使为减函数而＜0
③在其定义域内为增函数
④既有最大、最小值，又是偶函数
⑤最小正周期为π
以上命题错误的为____________.①②③⑤
4.右图为的图象的一段，求其解析式。
解析法1以M为第一个零点，则A=，
所求解析式为
点M（在图象上，由此求得
所求解析式为
法2.由题意A=，，则
图像过点
即取
所求解析式为
四、三角函数的定义域、值域、最值问题
【例题1】求下列函数的定义域
1.；【答案】，
2..【答案】
【例题2】
（1）已知的定义域为____________.
【答案】，（）
（2）设的定义域为_____________.【答案】.
【例题3】求下列函数的值域
（1）；【答案】
（2）；【答案】
（3）；【答案】
（4）；【答案】
【例题4】.【2012高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为
（A） （B）0 （C）－1 （D）
【答案】A
【解析】因为，所以，，即，所以当时，最小值为，当时，最大值为，所以最大值与最小值之和为，选A.
【习题4】
1、函数的定义域为[﹣，]，则的定义域为（ ）
A、[﹣，] B、[，]
C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
2．若θ为锐角，则的取值范围是 （）
A． B． C． D．
3．α在第三、四象限，的取值范围是 （）
A．（－1，0） B．（－1,） C．（－1,） D．（－1，1）
4．函数的值域是 （）
A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，2] D．[0，1]
5.若函数的最大值为，试确定常数的值．
五、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用
【例题1】【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且。
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
【答案】
【解析】
（1），由正弦定理可得，即得，.
（2），由正弦定理得，由余弦定理，，解得，.
【例题2】【2012高考真题浙江理18】（本小题满分14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知,．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若a＝，求ABC的面积．
【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
（Ⅰ）∵＝＞0，∴sinA＝，
又cosC＝sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋sinCcosA
整理得：
tanC＝．
（Ⅱ）由图辅助三角形知：
sinC＝，.
又由正弦定理知：
，故．
∴ABC的面积为：
S＝．
【例题3】（2011浙江卷.理科18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为.
已知且.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）若角为锐角，求的取值范围.
解：
（Ⅰ）由题设，并利用正弦定理得，
解得或；
（Ⅱ）由余弦定理，
即，由于，
所以
【例题4】（2011江西）△的角的对分别是，已知.
（1） 求的值；
（2）若，求的值。
解：
（1）由已知得
即
由
同边平方得：
（2）由，
即
由
由余弦定理得
【例题5】（2012年宁波高考一模.理科18）已知，，且满足。
（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（2）已知分别是的三个内角对应的边长，若对所以的恒成立，且，求的取值范围。
解：
（1），的最小正周期是；
，
由余弦定理,得
，
又，所以的取值范围是.
【习题5】
1、在△中角所对的边分别是，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小。
2（2011年全国大纲卷.理17）在△中角所对的边分别是已知
=90°，，求角。
3、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷四.18）在在△中，角所对的边分别是，向量,，且⊥。
（1）求角 的大小；
（2）求的取值范围。
4、（2009年安徽理科.18）△中，.
（1）求的值；
（2）设，求△的面积。
5、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷七.18）在△中角所对的边分别是，已知,，△的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值。
6、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷九.18）在△中角所对的边分别是，角为锐角，向量，，且∥.
（1）求角的大小；
（2）如果，求△的面积的最大值。
7、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷十.18）设为△的三个内角，向量，，且向量的和向量与差向量的数量积为.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围。
8、在△中角所对的边分别是，且三边上的高分别是满足.
（1）若在△的面积为，用表示面积；
（2）用表示，并求角的值.
9、（金丽衢十二校高三第二次联考.18）已知.
（1）求的值；
（2）在中，角所对的边分别是，若，且，求的值.
10、（2012年宁波二模.18）已知函数，设的最小内角为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线长为，求面积的最大值.
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