《集合与常用逻辑用语》单元测试题(文科).doc

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《集合与常用逻辑用语》单元测试题（文科）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

）

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}与B＝{x|x＝2n，n∈N}，

则正确表示集合A、B关系的韦恩（Venn）图是（　A　）

2．已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则

M∩N等于（　D　）

A．（0,1），（1,2）B．{（0,1），（1,2）}C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}

3.若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∪B是（　C　）

A．{x|－13}D．{x|－

4．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：

若α∥β，l⊂α，m⊂β则l∥m；命题q：

l∥α，m⊥l，m⊂β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是（　B　）

A．p或qB．¬p或qC．p且q D．p且¬q

5．在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”的（　A）

A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．下列结论错误的是（　D　）

A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题

B．命题p：

∀x∈[0,1]，ex≥1，命题q：

∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∨q为真

C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题

D．“若am2

7．“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题是（D　　）

A．若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0.B．若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0.

C．若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0.D．若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0.

8．命题p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≤1，则（B　　）

A．p是假命题，¬p：

∃x0∈[0，＋∞），（log32）x0>1

B．p是真命题，¬p：

∃x0∈[0，＋∞），（log32）x0>1

C．p是假命题，¬p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≥1

D．p是真命题，¬p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≥1

9．非空数集中,所有元素的算术平均数记为,即.若非空数集满足下列两个条件:

①;②,则称为的一个“保均值子集”.据此,集合的“保均值子集”有 （　C　）

A．个 B．个 C．个 D．个

10记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为

则“t=1”是“为等边三解形”的B

A.充分布不必要的条件 B.必要而不充分的条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件

二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把正确答案填在题中横线上）

11．已知命题甲：

a＋b≠4，命题乙：

a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．　既不充分也不必要

12.已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为　m－n　

13．已知集合A满足条件：

当p∈A时，总有∈A（p≠0且p≠－1），已知2∈A，则集合A中所有元素的积等于___1

14．函数f（x）＝logax－x＋2（a>0且a≠1）有且仅有两个零点的充要条件是___a>1_____．

15.设函数f（x）＝x2－2x＋m.

（1）若∀x∈[0,3]，f（x）≥0恒成立，m的取值范围m≥1；

（2）若∃x∈[0,3]，f（x）≥0成立，m的取值范围m≥-3．

16.设A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|

17．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：

①曲线C不可能为圆；②若1

③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1

其中真命题的序号是___　③④___（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共5个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分12分）求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件．

解：

方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．

当a＝0时，x＝－适合条件．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，

则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，

当a＝1时，方程有一负根x＝－1.

当a<1时，若方程有且仅有一负根，则<0，∴a<0.

综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．”

（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解析]　

（1）逆命题是：

若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0，真命题．

用反证法证明：

设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∵f（x）是R上的增函数，

∴f（a）

∴f（a）＋f（b）

（2）逆否命题：

若f（a）＋f（b）

由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．

∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，又∵f（x）在R上是增函数，

∴f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a）．∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），∴原命题真，故逆否命题为真．

20．（本小题满分13分）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

[解析]　A＝{x|－1≤x≤3}B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）∵A∩B＝[0,3]，∴，，∴m＝2.

（2）∁RB＝{x|xm＋2}A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1.

∴m>5或m<－3.因此实数m的取值范围是m>5或m<－3.

21（本小题满分14分）.已知命题p：

指数函数f（x）＝（2a－6）x在R上单调递减，命题q：

关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3.若p且q为假，求实数a的取值范围．

解：

若p真，则f（x）＝（2a－6）x在R上单调递减，

∴0<2a－6<1，∴3

若q真，令f（x）＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足，

∴，故a>，

又由题意应有p假或q假

若p假则或a≥，若q假，则，

故a的取值范围是{a|a≤3或a≥}．

22．（本小题满分14分）已知p：

2x2－9x＋a＜0，q：

且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．

解析：

　由得即2＜x＜3.

∴q：

2＜x＜3.

设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，

∵¬p⇒¬q，∴q⇒p.∴B⊆A.

∴2＜x＜3含于集合A，

即2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.

设f（x）＝2x2－9x＋a，

要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，

需即∴a≤9.

故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．