人教版2013届高三一轮复习课时训练40：空间几何体的表面积和体积.doc

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人教版2013届高三一轮复习课时训练40

空间几何体的表面积和体积

1．（2012·绵阳调研）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（　　）

A．6　　　　　　　　　 B．12

C．24 D．36

解析：

选B.依题意可知，该棱锥的体积等于×（3×4）×3＝12.

2．一个几何体的三视图如图所示，则

这个几何体的表面积为（　　）

A．72 B．66

C．60 D．30

解析：

选A.根据题目所给的三视图可知该几何体为一个直三棱柱，且底面是一直角三角形，两直角边长度分别为3,4，斜边长度为5，直三棱柱的高为5，所以表面积为3×4＋3×5＋4×5＋5×5＝72，故选A.

3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．24＋6π B．24＋4π

C．28＋6π D．28＋4π

解析：

选A.由题意知，该几何体是一个半球与一个正四棱柱的组合体，并且正四棱柱的底面内接于半球的底面，由三视图中的数据可知，正四棱柱的底面边长为2，高为3，故半球的底面半径为.所以该几何体的表面积为S＝×4π×（）2＋π×（）2＋4×2×3＝24＋6π.故选A.

4．（2011·高考上海卷）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．

解析：

设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则

∴

∴h＝＝＝，

∴圆锥的体积V＝π·12·＝π.

答案：

π

一、选择题

1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则该圆柱的底面积是（　　）

A．24π2　　　　　　　　　　 B．36π2

C．36π2或16π2 D．9π或4π

解析：

选D.由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或4π，故底面圆的半径为3或2，所以底面圆的面积是9π或4π.

2．（2011·高考辽宁卷）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（　　）

A．4 B．2

C．2 D.

解析：

选B.设底面边长为x，则V＝x3＝2，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.

3．（2011·高考湖南卷）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A.π＋12

B.π＋18

C．9π＋12

D．36π＋18

解析：

选B.由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V＝32×2＋π3＝18＋π.

4．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的（　　）

A. B.

C. D.

解析：

选B.由题意可得截面圆半径为R（R为球的半径），所以截面面积为π（R）2＝πR2，又球的表面积为4πR2，则＝，故选B.

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（　　）

A．8 B．6

C．10 D．8

解析：

选C.将三视图还原成几何体的直观图如图所示．

它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积应为10.

二、填空题

6．（2012·洛阳质检）若一个圆锥的正视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．

解析：

由正视图知该圆锥的底面半径r＝1，母线长l＝3，∴S圆锥侧＝πrl＝π×1×3＝3π.

答案：

3π

7.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1－BCO的体积为________．

解析：

V＝S△BOC·B1B＝×BO·BC·sin45°·B1B＝××2××2＝.

答案：

8．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．

解析：

由πR3＝，得R＝2，∴正三棱柱的高h＝4.

设这个三棱柱的底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4，

∴V＝·a·a·h＝48.

答案：

48

三、解答题

9．已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的，求这个圆台的侧面积．

解：

如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，

由题意知AC＝4cm，∠ASO＝30°，

O1C＝OA，

设O1C＝r，则OA＝2r，

又＝＝sin30°，

∴SC＝2r，SA＝4r，

∴AC＝SA－SC＝2r＝4cm，

∴r＝2cm.

所以圆台的侧面积为S＝π（r＋2r）×4＝24πcm2.

10．如图，已知某几何体的三视图如下（单位：

cm）．

（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积及体积．

解：

（1）这个几何体的直观图如图所示．

（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体．

由PA1＝PD1＝，

A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.

故所求几何体的表面积

S＝5×22＋2×2×＋2××（）2

＝22＋4（cm2），

体积V＝23＋×（）2×2＝10（cm3）．

11．（2012·广州调研）如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图所示．

（1）求证：

BC⊥平面ACD；

（2）求几何体D—ABC的体积．

解：

（1）证明：

在图中，可得AC＝BC＝2，

从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，

取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，

平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ADC，

从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，

又AC⊥BC，AC∩DO＝O，

∴BC⊥平面ACD.

（2）由

（1）可知BC为三棱锥B—ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，

∴VB—ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，

由等体积性可知，几何体D—ABC的体积为.