人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案.docx

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人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.锐角△ABC中，已知a=3，A=π3，则b2+c2+3bc的取值范围是（  ）

A.（5，15] B.（7，15] C.（7，11] D.（11，15]

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状为（  ）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

3.在△ABC中，∠A=60∘，b=1，S△ABC=3，则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于（  ）

A.2393 B.2633 C.833 D.23

4.在△ABC中，有正弦定理：

asinA=bsinB=csinC=定值，这个定值就是△ABC的外接圆的直径.如图2所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ，那么（  ）

A.λ先变小再变大

B.仅当M为线段EF的中点时，λ取得最大值

C.λ先变大再变小

D.λ是一个定值

5.已知三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大时，AB的长为（  ）

A.25 B.36 C.26 D.35

6.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足sinBsinA=1−cosBcosA.若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0<θ<π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（  ）

A.8+534 B.4+534 C.3 D.4+532

7.在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30∘，则使△ABC有两解的x的范围是（  ）

A.（1，233） B.（1，+∞） C.（233，2） D.（1，2）

8.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB+AC=2AO，且|OA|=|AC|，则△ABC的面积为（  ）

A.3 B.32 C.23 D.1

9.在△ABC中，若sinBsinC=cos2A2，则△ABC是（  ）

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

10.在△ABC中，已知∠C=60∘.a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则ab+c+bc+a为（  ）

A.3−23 B.1 C.3−23或1 D.3+23

11.设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（  ）

A.（2，3） B.（1，3） C.（2，2） D.（0，2）

12.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=3，则a+c的最大值为（  ）

A.23 B.3 C.32 D.9

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

13.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+12c=b，则角A的大小为______；若a=1，则△ABC的周长l的取值范围为______．

14.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c.已知a+2c=2b，sinB=2sinC，则sinC2=______．

15.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a−b=ccosB−ccosA，则△ABC的形状是______．

16.在△ABC中，若a2b2=tanAtanB，则△ABC的形状为______．

17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a−b）sinB=asinA−csinC，且a2+b2−6（a+b）+18=0，则AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB=______．

18.如果满足∠ABC=60∘，AC=12，BC=k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是______．

19.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足tanAtanB=2c−bb，则△ABC面积的最大值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）

20.在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且3a=2csinA．

（1）求角C的大小；

（2）若a=2，且△ABC的面积为332，求c的值．

21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinB=3bcosA．

（1）求角A的大小；

（2）若a=7，b=2，求△ABC的面积．

22.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA−csinC=（a−b）sinB．

（1）求角C的大小；

（2）若边长c=3，求△ABC的周长最大值．

23.已知函数f（x）=3sinxcosx−cos2x−12，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，求a，b的值．

24.已知△ABC中，A

（1）求△ABC的外接圆半径和角C的值；

（2）求a+b+c的取值范围．

25.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a−c）cosB=bcosC，

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC的面积为为334且b=3，求a+c的值．

26.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA−sinB）=（c−b）sinC

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC的面积的最大值．

27.已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若方程f（x）−t=1在x∈[0，π2]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

28.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m=（cosA+1，3），n=（sinA，1），且m//n；

（1）求角A；           

（2）若1+sin2Bcos 2B−sin 2B=−3，求tanC．

29.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1−sinC2

（1）求sinC的值

（2）若 a2+b2=4（a+b）−8，求边c的值．

30.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：

（a+c）（sinA−sinC）=sinB（a−b）

（I）求角C的大小；

（II）若c=2，求a+b的取值范围．

答案和解析

【答案】

1.D 2.A 3.A 4.D 5.A 6.A 7.D

8.B 9.B 10.B 11.A 12.A

13.60∘；（2，3]  

14.24  

15.等腰三角形或直角三角形  

16.等腰三角形或直角三角形  

17.−272  

18.0

19.334  

20.解：

（1）△ABC是锐角，a，b，c是角A，B，C的对边，且3a=2csinA．

由正弦定理得：

3sinA=2sinC⋅sinA

∵△ABC是锐角，

∴sinC=32，

故C=π3；

（2）a=2，且△ABC的面积为332，

根据△ABC的面积S=12acsinB=12×2×b×sinπ3=332

解得：

b=3．

由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=4+9−2×3=7

∴c=7．

故得c的值为7．  

21.（本题满分为14分）

解：

（1）∵asinB=3bcosA，由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA.…（3分）

又sinB≠0，

从而tanA=3.…（5分）

由于0

所以A=π3.…（7分）

（2）解法一：

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，而a=7，b=2，A=π3，…（9分）

得7=4+c2−2c=13，即c2−2c−3=0．

因为c>0，所以c=3.…（11分）

故△ABC的面积为S=12bcsinA=332.…（14分）

解法二：

由正弦定理，得7sinπ3=2sinB，

从而sinB=217，…（9分）

又由a>b知A>B，

所以cosB=277．

故sinC=sin（A+B）=sin（B+π3）=sinBcosπ3+cosBsinπ3=32114.…（12分）

所以△ABC的面积为12bcsinA=332.…（14分）  

22.解：

（1）由已知，根据正弦定理，asinA−csinC=（a−b）sinB

得，a2−c2=（a−b）b，即a2+b2−c2=ab．

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=12．

又C∈（0，π）．

所以C=π3．

（2）∵C=π3，c=3，A+B=2π3，

∴asinA=bsinB=332=2，可得：

a=2sinA，b=2sinB=2sin（2π3−A），

∴a+b+c=3+2sinA+2sin（2π3−A）

=3+2sinA+2（32cosA+12sinA）

=23sin（A+π6）+3

∵由0

12

∴a+b+c的取值范围（23，33].  

23.解：

（1）由于函数f（x）=3sinxcosx−cos2x−12=32sin2x−1+cos2x2−12=sin（2x−π6）−1，

故函数的最小值为−2，最小正周期为2π2=π．

（2）△ABC中，由于f（C）=sin（2C−π6）−1=0，可得2C−π6=π2，∴C=π3．

再由向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线可得sinB−2sinA=0．

再结合正弦定理可得b=2a，且B=2π3−A．

故有sin（2π3−A）=2sinA，化简可得tanA=33，∴A=π6，∴B=π2．

再由asinA=bsinB=csinC 可得asinπ6=bsinπ2=3sinπ3，

解得a=3，b=23．  

24.解：

（1）由正弦定理csinC=2R=1，∴R=12．

再由a=cosB，b=cosA，可得cosBsinA=cosAsinB，故有sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin2B．

再由A

（2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=sinA+cosA+1=2sin（A+π4）+1．

再由O

∴2<2sin（A+π4）+1<2+1，

即a+b+c的取值范围为（2，2+1）．  

25.解：

（1）又A+B+C=π，即C+B=π−A，

∴sin（C+B）=sin（π−A）=sinA，

将（2a−c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：

（2sinA−sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，

在△ABC中，0