初中物理竞赛第5讲浮力阿基米德原理Word文档格式.docx
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一般情况下，求解浮力的基本方法有如下几种：
方法一从液体的压力是浮力产生的原因着手。
通常情况下物体的形状比较规则，分别求出物体上、下表面所受液体的压力，通过压力差来求出物体所受的浮力，即F浮=F下-F上。
方法二运用阿基米德原理，即F浮=ρgV排。
运用这种方法，对物体的形状是否规则没有要求，求解起来也比较简便。
方法三利用物体的平衡条件。
使用这种方法的关键是首先要判断物体是否处于漂浮或悬浮状态，再根据二力平衡F浮=G求解。
这种方法看似简单，但在很多浮力综合问题上有着广泛的运用。
二【例题解析】
例1有两个互相连通的管子，其直径分别为4cm和3cm，如图5-1所示。
现在把一圆柱体物体放入左管，木块直径为2cm，高为5cm。
试问管内水面将增高多少？
（已知物块的密度为0.25g/cm3）
解析：
物体放入管内之后浮在水面上，由于左右管子连通，所以左右管内的水面上升的高度相同，设为Δh.
D1=4cm,D2=3cm,D=2cm,h=5cm.
物体排开水的重力（即物体受到的浮力）等于物体的重力，所以有
ρg
h=ρ水g（
+
）Δh
Δh.=
╳5cm=0.2cm
例2如图5-2下列三种情况下，容器内的水面高度怎么变化？
（1）容器的水面上浮着一块冰（图5-2（a）），冰融化之后；
（2）容器的水面上浮着一块冰（图5-2（b）），冰内嵌有一木块，冰融化之后；
（3）容器的水面上浮着一块冰（图5-2（c）），冰内嵌有一石块，冰融化之后；
（1）容器的水面上浮着一块冰，冰块受到的重力应该等于冰块受到的浮力，即等于冰块排开水的重力。
冰融化后，转换成的水的质量恰好与冰块刚刚排开水的质量相等，所以容器内水面高度不变。
（2）如果冰内嵌有一木块，冰块和木块的总重力等于冰块受到的浮力，当然它仍然等于整体排开水的重力。
被排开的水来自两部分的贡献：
一部分来自冰块的重力，根据
（1）的分析，冰块融化成水后正好填补源自它自身贡献所排开的那部分体积，而木块依然浮在水面上，排开水的重力仍等于他自身的重力，所以容器内的水面高度还是不变。
（3）如果冰内嵌有一石块，冰块和石块的总重力等于浮力，分析冰块的情况和
（2）相同。
关键是石块，当它嵌在冰块内浮在水面时，浮力的大小等于冰块和石块的总重力，冰块融化后，石块浸入水中且下沉，此时石块受到的浮力小于自身的重力，因而排开水的体积减小，容器内的水面高度降低。
例3装有水的容器中浮着一块冰，冰用细线拴住，线的另一端固定在容器底部，如图5-3所示。
线中的拉力为10牛，容器的横截面面积为100cm2。
如果冰全部融化后，容器中的水面变化多少？
（g=10N/kg）
线中的拉力与容器内水面的高低到底存在什么关系呢？
如果5-4所示，在初状态（图5-4（a）），分析冰块的受力情况，冰块受重力G、细线力T和浮力，可参见图5-5（a）。
在末状态（图5-4（c），冰块融化之后，细线上的拉力也就没有了。
从等效的角度出发，不妨在前后两个状态中设置一个中间状态，即先让细线断开，冰块上浮，水面上升（图5-4（b）），此时冰块受重力和浮力，可参见图5-5（b）。
而图5-4（b）状态到图5-4（c）状态，水面高度不变。
因此，只要计算一下图5-4（a）状态到图5-4（b）状态时水面的变化即可。
=
=0.1m
冰全部融化后，容器中水面上升0.1m。
【跟踪训练】
【训练1】一物体放入水中，静止时有
的体积浸没在水中，将该物体放入某液体中，静止时有
的体积露出液面，则物体和液体的密度分别是多少？
【答案】0.7╳103kg/m3,0.8╳103kg/m3
【训练2】一木块浮在水面上，露出水面的体积为24cm3，把露出水面的部分截去，原水下部分又有18cm3的体积露出水面，这块木块原来的体积是多大？
密度是多少？
【答案】96cm3，0.75╳103kg/m3
【训练3】一根圆柱形蜡烛长L=18cm，横截面积S=5cm2，密度ρ=0.4╳103kg/m3，蜡烛底黏一块不计体积的铁片放入水中。
一开始蜡烛没入水中的部分长12cm，如图5-6所示。
若蜡烛点燃后以0.4cm/min的速度燃烧，问蜡烛能燃烧多久？
【答案】25min
如何正确理解V排和V物关系
从公式F浮=ρgV排可知，浮力的大小只决定于物体排开液体（或气体）的体积和密度，跟物体的质量、密度和形状无关。
必须注意的是，公式中的V排是指被排开的液体或气体的体积，也就是物体浸没部分的体积，只有在物体全部浸没在液体（或气体）里时，V排才等于物体的体积V物，此外，公式中的ρ是指液体（或气体）的密度，而不是物体的密度。
需要提醒的是，要根据液体的性质而确定ρ的大小，不要习惯性地以水的密度统而代之。
例4容器中盛有水银，有一体积为630cm3的铁球浮在水银面上，如图5-7（a），现往容器中缓慢注入水，则铁球会怎样移动？
当铁球完全浸没在水中后，如图5-7（b）.求铁球浸在水银和水中的体积各是多少？
往容器中缓慢注入水后，题目涉及一个物体在两种液体中的浮力问题，铁球既排开了一定体积的水银，也排开了一定体积的水。
在注水的过程中，铁球排开水的体积增大，排开水银的体积减小，所以铁球会向上移动，直到水全部淹没铁球为止。
如果再继续注入水，铁球将不再会移动。
如图5-7（b）所示，此时铁球既受到水银对它的浮力，也受到水对它的浮力。
铁球排开的水银的体积决定了水银产生的浮力的大小；
铁球排开的水的体积决定了水产生的浮力大小，两个浮力之和就是铁球最终受到的浮力，并且等于铁球的重力。
设铁球重力为G，体积为V，铁球在水中的体积为V1，在水银中的体积为V2
ρ铁gV=ρ水gV1+ρ水银gV2
（1）
V=V1+V2
（2）
由
（1）
（2）两式可得：
V1=
=290cm3
V2=
=340cm3
例5如图所示，一木块浮在水面上，若将一块质量m为6.8kg的铁块加在这一木块上，刚好使木块浸没；
现若将一块质量m'
未知的铁块用细线与木块捆在一起时，木块和铁块也刚好浸没，求铁块的质量m'
。
两种情况下，铁块和木块构成的整体排开水的体积是不一样的，所以受到的浮力也不同。
第一种情况下，排开水的体积等于木块的体积，此时有
mg+m木g=ρ水g
（1）
第二种情况下，排开水的体积等于木块和铁块的体积之和，此时有
m’g+m木g=ρ水g（
+
）
（2）
由
（1）
（2）式得：
m’=
7.8kg
【训练4】冰块漂浮在水面上，露出水面的体积为V1，冰的密度为ρ1，水的密度为ρ2，则冰排开水的体积为多少？
冰的重力为多少？
【答案】
【训练5】木块的体积是100dm3，在木块上一共放490N的物体时，木块恰好浸没在水中，如图5-9（a）。
（1）木块的重力是多少？
（2）若从木块上面拿掉196N的物体后，如图5-9（b），则木块露出水面的体积是多少？
【答案】490N,20dm3
【训练6】在底面积为S的圆柱形容器内，水面的高度为H=0.15m，将一个由密度ρ=8.8╳103kg/m3的黄铜制成的碗浮在水面上，容器内的水位上升h0=0.22m若将碗沉入水中，水位相比一开始将上升多少？
【答案】2.5╳10-2m
浸在液体中的物体受到浮力作用，浮力的大小受不受大气压强的影响呢
一般情况下，无论物体全部浸没与液体，还是部分浸没入液体中，大气压强对液体浮力都不影响。
不妨先对形状规则的物体分析如下
如图5-10（a），设横截面积为S的物体全部浸没在液体中，设液体的密度为ρ，考虑到大气压强的存在，物体的上表面受到水向下的压力为（p0+ρgh1）S，物体的下表面受到水向上的压力为（p0+ρgh2）S，两者的差值就是该物体受到的浮力，大小为
F浮=ρg（h2-h1）S
容易看出，虽然大气压强的变化会影响液体内不同位置的压强，大大气压强通过液体对物体上、下表面所产生的压力因素会相互抵消，不会影响浮力的大小。
如图5-10（b），如果只是物体的一部分浸入在液体中，情况会如何呢？
此时，物体的上表面受到的大气压强为p0S，物体的下表面受到水向上的压力为（p0+ρgh）S，两者的差值就是该物体受到的浮力，大小为
F浮=ρghS
可以看出，大气压强的变化依然不会影响浮力的大小。
所以，在计算物体受到浮力时，不必考虑大气压强的存在是有道理的。
然而，结论真的是这么绝对吗？
请看下面一个特殊情况下的例子：
物体全部浸没在液体中，物体上半部分的横截面积为S1，下半部分的横截面积为S2，物体的底部与容器底部密切结合，考虑到大气压强的存在，物体的上表面受到水向下的压力为（p0+ρgh1）S，物体的下表面受到，物体的下表面受到水向上的压力为（p0+ρgh2）（S1-S2），两者的差值就是该物体受到的浮力，大小为
F浮=（p0+ρgh2）（S1-S2）-（p0+ρgh1）S1
=ρgS1（h2-h1）-ρgh2S2-p0S2
=ρgS1h-ρgS2h2-p0S2
其中，h=h2-h1为物体上半部分的高度。
同样可以看出，当大气压强p0增大时，F浮减小，之所以出现这样的情况，是因为物体的上表面与水接触的面积大于物体的下表面与水接触的面积，大气压强通过液体对物体上、下表面所产生的压力因素不会相互抵消，在这种情况下，大气压强的变化就会影响到浮力的大小。
所以，涉及此类问题时，要具体问题具体分析。
例6插入水中的小试管封闭了部分气体，在图5-12位置正好处于静止状态。
当大气压强增大时，试管会发生什么变化？
当大气压增大时，试管所在位置的液体压强增大，试管内液面上升，封闭气体的体积减小，试管排开水的体积减小，试管受到的浮力减小，试管下沉。
本例进一步说明，由于大气压强会影响到液体内部的压强，从而会影响液体内部封闭气体的体积，导致封闭气体排开液体的体积发生变化，最终使浮力发生变化。
例7如图所示，密度为ρ1、半径为r的半球体，放在盛有密度为ρ2的液体的容器的底部，它与容器底部紧密接触（即半球体的平面与容器底面之间无液体）。
此时液体高度为H，问半球体对容器底部的压力是多大？
大气压强为p0。
（球的体积公式为V=4/3
r3）
如果半球体与容器底部之间存在液体，那么，物体受到三个力作用，即重力G、浮力F和支持力N。
支持力的大小为
N=G-F=2/3
r3（ρ1-ρ2）g
所以，半球对容器底部的压力等于2/3
r3（ρ1-ρ2）g，可以看出大气压对此没有影响。
但事实上，半球体与容器底部紧密接触，与容器底面之间无液体。
所以，此时半球体的受力情况是半球自身的重力G、水对半球体的压力F、容器底部对半球体的支持力N，如图5-14）（b）。
难点在于水对半球体的压力F等于多少呢？
F应该等效为“半球体正上方水的重力与大气压所产生的压力之和”，其中大气压力为p0
r2,水的重力为ρ2g（
r2H-2/3
r3）,所以，容器底部对半球体的支持力为
N=G+F=G+p0
r2+ρ2g（
r2H-2/3
=ρ1g·
2/3
r3+p0
r2+ρ2g（
=（p0+ρ2gH）
r2+2/3
【训练7】如图5-15，由两个圆柱体组成的T型物体上，上、下底面的半径分别为a和b,高度分别为c和d，容器内液体的密度为ρ，深度为h，T型物体下底部与容器内底部紧密结合，则T型物体所受浮力的大小是多少？
【训练8】如图5-16，小圆筒A底部有一个半径为r的圆孔，大圆筒B套于A的外部，里外圆筒中分别盛有密度为ρ1和ρ2的液体，液体相平，距A的底部为h。
一半径略大于r的圆球盖住圆孔，试求圆球所受液体的浮力。
【训练9】如图5-17，容器的下半部是棱长为a的正方体，上半部是一个截面积为S的圆柱形筒。
先在正方体容器内注入水（密度为ρ1），使液面达到A处，使液面达到A处，然后把体积为V、密度为ρ2的长方体实心铜块放入水中。
若铜块与容器底部贴紧，使水不能进入接触处，则容器中水面恰好上升到B处，求此时容器底部所承受的压力。
（大气压强为P0）
利用阿基米德定理处理不同密度的混合物体的沉浮问题。
阿基米德定理表明：
浸在液体中的物体受到的浮力大小等于物体所排开的这部分液体所受的重力大小。
应该注意的是：
物体可以是密度分布均匀的单体物体，也可以是密度分布不均匀的物体，或是由密度不同的几种物质组成的混合物体。
解决这类问题的关键点有2个：
（1）当整体悬浮或漂浮时，整体的重力等于浮力；
当整体下沉时，整体的体积等于排开液体的体积。
（2）平均密度的应用可帮助判断整体的沉浮，
ρ=m1+m2/V1+V2
例8含有小石块的一块冰，放入盛有水的容器中正好悬浮在水中，此时水面上升了4.6cm。
当兵开始融化后，冰块的运动状态如何变化？
假设冰的密度ρ1为0.9╳103kg/m3,石块的密度ρ2为3.2╳103kg/m3,容器的横截面积为50cm2,当冰块全部融化后，水面相对一开始（未放入冰块前）上升了多少？
（1）含有小石块的冰块的平均密度为
它放入盛有水的容器中正好悬浮在水中，说明平均密度ρ正好等于水的密度。
石块与冰块相比，石块的密度大，而冰块的密度小，冰块开始融化后，密度比较小的冰块含量减少，混合物的平均密度将增大，含有小石块的冰块开始下沉直至沉入到容器底部。
（3）冰块与石块的质量等于排开水的质量，
m1+m2=ρ水Sh=1╳50╳4.6g=230g①
冰块与石块的体积等于排开水的体积，
m1/ρ1+m2/ρ2=Sh
即m1/0.9+m2/3.2=230②
由①②可得：
m1=98g,m2=32g
冰融化后的体积
V1=m1/ρ1=198/1cm3=198cm3
石块的体积
V2=m2/ρ2=32/3.2cm3=10cm3
当冰全部融化后，水面相对一开始（未放入冰块前）上升的高度为
Δh=
cm=4.16cm
例9如图，在盛有某液体的圆柱形容器内放有一木块，在木块的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B，金属块B浸没在液体中，而木块漂浮在液体表面上，液体表面正好与容器口相齐，某瞬间细线突然断开，待稳定后液面下降了h1,然后取出金属块B，液体表面又下降了h2,最后取出木块A，液体表面又下降了h3,由此可以判断A与B的密度之比为（）
A.
h3∶（h1+h2）B.h1∶（h2+h3）
C.（h2-h1）∶h3D.（h2-h3）∶h1
以V0表示容器的容积，VA1表示最初A浸入水中部分的体积，V表示A和B的体积，V水表示容器中水的体积，则对于最初状态，有
V0=VA1+V+V水
以S表示容器的截面积，则当A、B间连线断后，容器中水面下降h1,并以VA2表示此时A浸入水中部分的体积，仍有
V0=VA2+V+V水+h1S
取出B后，水面又下降h2，仍有
V0=VA2+V水+（h1+h2）S
再取出A后，水面又下降h3，上面的式子变为
V0=V水+（h1+h2+h2）S
分别以ρA、ρB、ρ0表示A和B的水的密度，根据物体漂浮于水面上时受力平衡的关系，针对题目的先后两种情况列式如下：
ρAgV+ρBgV=ρ0g（VA1+V）
ρAgV=ρ0gVA2
解得ρa/ρB=h3/h1+h2.选A。
【训练10】有一个体积为500cm3,密度为0.32╳103kg/m3的软木块，在软木块的下方用细线吊一块铁，全部投入水中，为使软木块全部浸入水中，铁块的最小质量约是多少？
【答案】0.459kg
【训练11】如图5-20，一冰块下面悬吊一物块A，正好悬浮在水中，物块A的密度为ρ,且1.4╳103kg/m3<
2.0╳103kg/m3,冰块融化后，水面下降了1cm，设量筒的内横截面积为50cm2，冰的密度为0.9╳103kg/m3，水的密度为1.0╳103kg/m3，则可以判断物体的质量可能为（）
A0．05kgB0.10kgC0.15kgD0.20kg
【答案】C
【训练12】体积为0.2dm3的铁球，用一根细绳与体积为5dm3的木块连接在一起放在容器内，铁块的密度为7.8╳103kg/m3，木块的密度为0.6╳103kg/m3，现不断向容器内注入水，如图5-21，当木块有4/5体积浸没在水中时，细绳上的拉力是多大？
继续向容器内注水，木块浸入水中的体积为多大时，铁球对容器底部没有压力？
【答案】4.9N,3.86dm3
利用阿基米德定理处理物体在不同密度的混合液体或密度不均匀的液体中的悬浮问题
我们已经掌握：
浸在液体中的物体受到的浮力大小等于物体排开的这部分液体所受的重力大小。
一般情况下，均匀分布的液体的密度是一个定值，但是在实际情况中物体可以是密度分布均匀的单一物体，也可以是密度分布不均匀的物体，或是由密度不同的几种物质组成的混合物体。
例11如图5-22，某装有水的容器中漂浮着一冰块，在水的表面上又覆盖着一层油。
已知水面高度为h1，油面的高度为h2,则当冰融化后（）
A水面高度h1升高，油面高度为h2升高
B水面高度h1升高，油面高度为h2降低
C水面高度h1降低，油面高度为h2升高
D水面高度h1降低，油面高度为h2降低
冰块虽然浮在油面上，但是也有部分冰浸在水中，冰既受到油产生的浮力，也受到水产生的浮力。
当冰全部融化成水后，不妨将原先的冰块等效成现在的水块而全部浸入水中，即此时水块只排开水，所以水面的高度h1自然要升高。
油层的厚度由于冰的融化而变薄，那么h2怎么变化呢？
问题还有一个关键—那就是容器内的液体总质量是不变的，因而水对容器底部的压强不变。
p=ρ水gh1+ρ油g（h2-h1）=（ρ水-ρ油）gh1+ρ油gh2
p保持不变，因为h1增大，所以h2减小。
例12容器中液体的深度为H，液体密度随深度均匀增大，它的变化规律是ρ=ρ0+kh,式中，ρ0是液面处的液体密度，k是常数。
液体里浸入两个体积都是V的小球，小球之间用不可伸长的细线连接，第一个小球密度为ρ1，第二个小球密度为ρ2，过一段时间，两小球静止于如图5-23位置，两小球之间的距离为L，求细线上的拉力是多少？
小球浸没在密度分布不均匀的液体中，考虑到小球的体积非常小，在计算每个小球所受浮力大小时，不妨以小球中心所处位置处对应的液体密度近似看作小球排开液体的平均密度。
设两小球静止时，上面小球所处位置的深度为h0,则下面小球所处位置的深度为h0+L，此时有
（ρ0+kh0）gV=ρ1gV+T
[ρ0+k（h0+L）]gV+T=ρ2gV
T=1/2（ρ2-ρ1–kL）gV
容易看出，
L≤（ρ2–ρ1）/k时，绳子上存在拉力；
L>
（ρ2–ρ1）/k时，绳子的长度超过两球静止时在竖直方向上的距离，绳子上不存在拉力。
两球各自停在相应的深度，即有
h1=ρ1–ρ0/k，h2=ρ2–ρ0/k
拓展13某溶液的密度ρ随溶液深度h按照规律ρ0=ρ+kh变化，其中ρ0=1g/cm3,k=0.01g/cm4.用长度为5cm且不可伸长的细线将A、B两个立方体连在一起并放进溶液内。
已知VA=VB=1cm3,mA=1.2g,mB=1.4g,平衡时立方块A中心所在的深度为多少？
细线上的拉力为多少？
（假设溶液足够深）
三【课后作业】
一、选择题
1．水平桌面上的烧杯内装有一定量的水，轻轻放入一个小球后，从烧杯中溢出100g的水，g取10N/kg。
则下列判断中正确的是（）
A小球所手浮力一定不大于1NB小球的质量一定不小于100g
C小球的体积一定不等于100cm3D小球的密度一定不大于水
2．直径为d的空心铝球，它浮在水面上时，有1/4体积露出水面，此空心铝球的质量为（）
A1/12ρ水
d3B1/8ρ水
d3C1/6ρ水
d3D1/4ρ水
d3
3.一盛水容器的水面上漂浮着一只瓷碗，碗中有一块石头，这时，容器中水的深度为h1,把碗中石子取出后放入容器所盛的水中，这时容器中水的深度为h2,则（）
Ah2=h1Bh2>
h1Ch2<
h1D无法判断
4.如图5-24，一个充气的气球下面挂一个金属块，把它们放入水中某处恰能静止，现把金属块及气球的位置轻轻向上移一些，则金属块和气球（）
A仍能静止B向下运动C向上运动D上下运动
5.如图5-25，一个重力为10牛的实心金属块，挂在弹簧秤下并浸入水中（弹簧秤未画出），当金属块的体积的1/3浸入水中静止时，弹簧秤的示数为8牛。
当把金属块全部浸入水中并碰到杯底时，弹簧秤的示数可能将变为（）
A4NB6NC8ND10N
6.公共厕所自动冲洗用的水箱里有一个圆柱形浮筒P，出水管口有一个圆形盖子a,两者用短链相连，如图5-26，若水箱的深度足够，要实现自动定时冲洗，以下叙述正确的是（）
A只要浮筒P的深度足够大B只要浮筒P的质量足够小
C盖子a必须比浮筒P轻D浮筒P的横截面积必须大于盖子a的面积
7.把一高为h、密度为ρ、半径为r的圆柱形木块放到半径为2r的圆柱形容器内，如向容器内灌水，使木块处于漂浮状态，则容器的最小高度应为（）
Ah/4Bρh/ρ水Cρ水h/ρ+ρ水Dρr/4ρ水
8.如图5-27，石料在钢绳拉力的作用下从水面上方以恒定速度下降，直至全部投入水中。
图5-27是钢绳拉力F随时间t变化的图象。
若不计水的摩擦阻力，则可算出该石料的密度为（）
A1.8╳103kg/m3B2.3╳103kg/m3
C2.8╳103kg/m3D3.2╳103kg/m3
9.如图5-28，容器内放有一长方体木块M，上面压有一铁块m，木块浮出水面的高度为h1,如图5-28（a），用细绳将该铁块系在木块的下面，木块浮出水面的高度为h2,如图5-28（b）所示，将细绳剪断后，如图5-28（c）,木块浮出水面的高度为（）
Ah1+
Bh2+
Ch1+
Dh2+
10.有一个梯形物体浸没在水中，如图5-29，水的密度为ρ,深度为H，物块高度为h，体积为V
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