上海市宝山区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).doc

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2019届宝山区高三年级一模数学试卷（教师版）2018.12

一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1、函数的最小正周期为_____【答案】

【解析】最小正周期

2、集合，集合，则____【答案】

【解析】

3、若复数满足（是虚数单位），则____【答案】

【解析】

4、方程的根为__________【答案】

【解析】

5、从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法。

（用数字作答）【答案】20

【解析】分类讨论：

或直接隔板法：

6、关于的二元一次方程的增广矩阵为，则____【答案】

【解析】

7、如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比____【答案】

【解析】

8、函数与的图像关于直线对称，则__________【答案】

【解析】设点在的图像上，则关于直线对称的点在的图像上，得到

9、已知，且，，则____【答案】或

【解析】或，则或

10、将函数的图像绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是______【答案】

【解析】将函数图像（此为下半圆）旋转一周得到半球体，体积

11、张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：

在中，分别是角的对边，已知，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的可能取值是（只需填写一个适合的答案）【答案】

【解析】正弦定理，

或数形结合也行

12、如果等差数列，的公差都为，若满足对于任意，都有，其中为常数，，则称它们互为“同宗”数列．已知等差数列中，首项，公差，数列为数列的“同宗”数列，若，则【答案】2

【解析】由题知，又为的“同宗”数列，所以，则．

所以

所以

当时，

，故不满足；

当时，

，故满足；

当时，

，故也不满足；

……

则当时，

若，即

则设，由

所以是递减数列，所以仅有，

故仅2时，有．

【点评】本题得出答案2，还是相对容易的，若想要验证仅满足，需要构造数列判断其单调性去验证，整体难度不高．

二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13、若等式对一切都成立，其中为实常数，则（）（A）2 （B）－1（C）4 （D）1【答案】D

【解析】（赋值法）令时，，故选D．

14、“”是“”的（）条件

（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既非充分又非必要【答案】B

【解析】由的定义域为，所以成立的条件为，

故选B．

15、关于函数的下列判断，其中正确的是（）【答案】A

（A）函数的图像是轴对称图形 （B）函数的图像是中心对称图形

（C）函数有最大值 （D）当时，是减函数

【解析】由，且定义域为，知故选择A．

16．设点M、N均在双曲线上运动，是双曲线C的左、右焦点，的最小值为（）（A）（B）4 （C） （D）以上都不对

【答案】B【解析】由为的中点，则

由双曲线的性质知，所以的最小值为4．

三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

17、（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分，

如图，在四棱锥中，平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，P4＝4，设E为侧棱PC的中点．．

（1）求正四棱锥E－ABCD的体积V；

（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．

【解析】

（1）由E为侧棱PC的中点．由E为侧棱PC的中点，则正四棱锥E－ABCD的体积

．

（2）以点A为坐标原点，如图建系．则，，，，则

所以，，．设平面PCD的法向量为．

则，得，不妨．

所以．

所以直线BE与平面PCD所成角的大小为．

18．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．

已知函数，将的图像向左移个单位的函数的图像．

（1）若，求的单调递增区间；

（2）若，的一条对称轴，求，的值域．

【解析】

（1），，

若，则，，

得，即的单调递增区间为；

（2）∵的一条对称轴，∴，从而，

得，∵，∴，于是，

∵，∴，∴，

∴．

19．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．

某温室大棚规定：

一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段．从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度（单位：

度）与时间（单位：

小时，）近似地满足函数关系，其中，为大棚内一天中保温时段的通风量．

（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1℃）；

（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃，求大棚一天中保温时段通风量的最小值．

【解析】

（1），

①时，，此时函数单调递减，当时，，

②时，，

令，，则，此时函数单调递增，，

综上，最低温度为℃；

（2）即对恒成立，

①时，，得，

在单调递增，∴，

②时，，得，

∴，

综上，，∴大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．

20．（满分16分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．

已知椭圆的左、右焦点为、．

（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；

（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；

（3）设，若椭圆上存在两不同点满足，证明直线过定点，并求该定点的坐标．

【20题解析】

（1），抛物线方程为；

（2）；

（3）设，，，

，得，

∵，∴，即，

，

，

，∵，∴．

∴，∴必过定点

【说明】如右图，根据对称性可知，若存在定点，则该定点必定落在轴上．

答案可考虑特殊情况，下图中轴时，计算直线与的交点，得到，

从而可秒出定点坐标为．

21．（满分18分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分．

如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”，若数列满足，，．

（1）求证：

数列是“间等差数列”，并求间公差；

（2）设为数列的前项和，若的最小值为，求实数的取值范围；

（3）类似地：

非常数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”．已如数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由．

【解析】

（1）证明：

，，则，两式相减得：

，，故数列是“间等差数列”，其间公差；

（2）（I）（）时：

，易得其最小值为时，最小值为；

（II）（）时：

当时最小，其最小值为；

要使其最小值为，则，解之得：

；

（3）；，两式相除得：

，故为“间等比数列”，其“间公比”，，，易求出其通项公式为：

；，则数列单调递减，那么奇数项，偶数项分别单调递减，故，要使得整个数列单调递减，则只需满足

，即：

，

解得：

，那么的最大整数为．

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