上海市2017高三数学直线综合.doc
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辅导讲义
学员编号：
年级：
高二课时数：
3
学员姓名：
辅导科目：
数学学科教师：
授课类型
T（直线的方程）
T（直线的倾斜角和斜率）
T（直线的位置关系及点到直线的距离）
授课日期及时段
教学内容
一、直线的方程
知识点1：
直线的点方向式方程，其中（）为直线所过定点，为直线的方向向量（注意方程中不能为0），若,直线为；若，直线为；分别表示两条特殊直线。
知识点2：
直线的点法向式方程，其中（）为直线所过定点，为直线的法向量
知识点3：
直线的点斜式方程，其中（）为直线所过定点，为直线的斜率（斜率必须存在），当斜率不存在时，方程为
知识点4：
直线的斜截式方程，其中k为斜率（存在），b为直线在y轴上的截距
知识点5：
直线的一般式方程
二、直线的倾斜角
1、倾斜角的定义：
若直线与轴相交于点，将轴绕点逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角.
【注】：
当直线与轴平行或重合（即与轴垂直）时，规定其倾斜角。
所以根据定义，直线的倾斜角的取值范围是.特别地，与轴垂直时，.
2、斜率：
当时，记的正切值为，把叫做直线的斜率
【注】：
当时，直线的斜率不存在.
3、直线的倾斜角、斜率的计算公式：
倾斜角（注意反正切函数表示的理解）
斜率=（斜率存在时）
4、倾斜角和斜率k的变化关系（正切函数图象）理解
作出正切函数在的图像，参照图形如下：
得到以下结论：
（1），随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，.
（2），随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，.
三、直线与直线的位置关系
1、两直线的位置关系
（1）平面内两条直线的位置关系有三种：
重合、平行、相交（垂直）。
（2）判别方法：
法一：
系数行列式判别解的个数方法
①相交；②且、至少有一个不等于零平行；③===0重合
法二：
当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
方
程
条
件
关
系
：
：
：
：
平行
且
重合
且
相交
垂直
2、相交直线交点与夹角
（1）交点坐标：
联立方程求解
（2）夹角公式：
向量表示：
.
斜率表示：
同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.
（1）若两直线的斜率都存在，当时，有公式;
（2）如果直线和中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.
3、点到直线的距离
（1）点到直线的距离
点到直线的距离
（2）点在直线的同侧或异侧的问题
另，当两点在直线的同侧，则它们的同号；当两点在直线的异侧，
则它们的异号.
（3）平行直线间的距离
若两条平行线直线：
，：
的距离，（）.
（4）两点间的距离公式：
四、对称问题
（1）点关于点的对称
①若，，则的中点坐标是；
②关于的对称点坐标是．
（2）点关于线的对称问题
①关于的对称点为
②关于的对称点为
③关于的对称点为（巧记：
代入求，代入求）
④关于的对称点为（巧记：
代入求，代入求）
⑤求解关于的对称点一般步骤：
i设对称点
ii列方程
iii求解
（3）线关于线的对称
①思路：
转化为点关于线的对称问题．
②求解关于的对称直线一般步骤：
i在上取一点
ii设关于对称点为
iii列方程
iv求解
五、圆的方程
1．圆的标准方程与一般方程
（1）圆的标准方程为，其中圆心为,半径为；
（2）圆的一般方程为，圆心坐标，半径为．方程表示圆的充要条件是．
【注意】二元二次方程表示圆的充要条件是且且）.
（3）圆的参数方程：
（为参数），其中圆心为，半径为．
【注意】圆的参数方程的主要应用是三角换元：
；
.
2．点与圆的位置关系：
在圆内
在圆上
在圆外
3．判断直线与圆的位置关系的两种方法：
（1）几何法：
通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为，圆半径为．若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则．
（2）代数法：
通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交．
4．两圆的的位置关系
设两圆半径分别为，圆心距为
若两圆相外离,则，公切线条数为4
若两圆相外切,则，公切线条数为3
若两圆相交，则公切线条数为2
若两圆内切，则，公切线条数为1
若两圆内含，则，公切线条数为0
典型例题
题型一：
直线的方程
例1：
若直线与直线平行，则=.
【答案】
例2：
经过点且法向量为的直线的方程是
【答案】
例3：
在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点，且弦的中点为，则直线的方程为.
【答案】
例4：
已知点，则直线的点法向式方程是．
【答案】；
题型二：
直线的倾斜角
例1：
已知直线的方向向量，则直线的斜率为，倾斜角为
答案：
斜率为，倾斜角为
例2：
若直线的斜率为2，则直线的一个法向量为（答案不唯一）答案：
例3：
直线的倾斜角为（）
答案：
D
例4：
设是直线的倾斜角，且，则的值为（）
；
解析：
理解反三角表示及倾斜角范围对应答案：
B
例5：
已知∈（0，），则直线的倾斜角（用的代数式表示）
解析：
三角诱导关系及倾斜角范围问题答案：
例6：
已知直线的斜率，则倾斜角的范围为
解析：
用正切函数图像去分析可得答案：
例7：
已知直线的倾斜角且，则直线的斜率的取值范围为
解析：
用正切函数图像去分析可得答案：
例8：
求直线的倾斜角的范围
[说明]本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用.
解：
设倾斜角为，由题意知斜率；
当时，为钝角，，由，
得；
当时，为锐角，得；
当时，；
综上所述，倾斜角的取值范围是
检测题：
1.已知直线的倾斜角大小是，则.
【答案】
2.直线的倾斜角的大小为____________．【答案】
3.已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为【答案】
题型三：
直线与直线的位置关系
例1：
“a＝1”是“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（）
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
【答案】A
例2：
已知直线，则直线的夹角的大小是 ．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
例3：
已知直线和，若，则.
【答案】
题型四：
直线的对称
例1：
已知点,,点满足：
为中点，为中点，
（1）求的坐标。
（2）求的坐标。
【答案】：
（1）为中点，坐标为，即；
（2）解法一：
设，则，所以
解得，所以的坐标为
解法二：
因为为中点，所以的坐标为,即为
例2：
已知为直线上的动点，关于的对称点为，记，当线段的长度为的时候，求的坐标.
【答案】：
设，则，
求得
所以的坐标为或
例3：
求直线关于点对称的直线方程.
【分析：
本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数】
解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，
故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.由点到直线距离公式，
得，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c=-38.
例4：
求直线关于直线对称的直线的方程.
【分析：
由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答】
解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，
在直线l1：
x-y-1=0上取点M（1，0），
则易求得M关于直线l2：
x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
题型五：
含参数的直线
例1：
不论为何实数，直线恒过定点.
解析：
方程转化为，要恒过定点则参数取任意值都不影响，则和得
答案：
例2：
已知点在直线上，则直线必过定点.
解析：
由题则，对比，可将化为，则过定点（）
答案：
（）
例3：
（1）已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．
解析：
直线l恒过（0,1），数形结合，可以找到两边界直线即可得
答案：
（2）已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数的取值范围是．
解析：
直线代表一系列斜率为1平行直线族，两边界分别为过点是，则
例4:
已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）恰有个不同的根，则的取值范围是
解析：
直线恒过定点（-1,1）再数形结合找到两个边界即可得出。
答案：
课后练习
1.直线过坐标原点及两直线与的交点，则直线的方程为__________.
2.直线与直线的夹角为_____________.
3.过点且平行于直线的直线方程是_______________.
4.直线与的夹角为_____________.
5.若直线与垂直，则________.
6.直线与直线的夹角是（）
ABCD
7.下列各组直线中，两条直线相互平行的是（）
A与B与
C与D与
8.直线和的位置关系是（）
A平行B平行或重合C重合D既不平行也不重合
9.若直线和的夹角为，则的值为（）
A或B或C或D或
10.已知直线和直线，当与的夹角在之间变动时，的取值范围是（）
ABCD
11.已知直线与的夹角平分线所在的直线方程为，若的方程为
，那么的方程是（）
AB
CD
12.设分别是中所对的边长，判定直线：
与
的位置关系.
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