三角函数解题方法分析.doc

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三角函数解题方法例题分析

一、知识整合

1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．

2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

二、高考考点分析

各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。

主要考察内容按综合难度分，有以下几个层次：

第一层次：

通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。

如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：

三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。

如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：

充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。

如分段函数值，求复合函数值域等。

三、方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；

配凑角：

α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（5）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：

利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：

综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：

观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：

运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：

选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析

例1．已知，求；

解：

；（利用了什么？

）

例2．已知，求的值.

解：

.

说明：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例3．求函数的值域。

解：

设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

例4．已知函数。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

（2）证明：

函数的图像关于直线对称。

解：

（1）所以的最小正周期，因为，

所以，当，即时，最大值为；

（2）证明：

欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

例5．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：

（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x·sin+sin2x·cos）+

=sin（2x+）+

所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

说明：

本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：

一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin（ωx+）+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

本题

（1）还可以解法如下：

当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1

化简得：

2（y－1）tan2x－tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8（y－1）（2y－3）≥0,解之得：

≤y≤

∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

例6．已知函数

（Ⅰ）将f（x）写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.

解：

（Ⅰ）由=0即

即对称中心的横坐标为

（Ⅱ）由已知b2=ac

即的值域为.

综上所述，，值域为.

说明：

本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例7．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，

（1）求的值；

（2）若，且a=c，求的面积。

解：

（1）由正弦定理及，有，

即，所以，

又因为，，所以，因为，所以，又，所以。

（2）在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以的面积为

。

例8．已知向量

，且，

（1）求函数的表达式；

（2）若，求的最大值与最小值。

解：

（1），，，又，

所以，

所以，即；

（2）由

（1）可得，令导数，解得，列表如下：

t

－1

（－1，1）

1

（1，3）

导数

0

－

0

+

极大值

递减

极小值

递增

而所以。

例9．已知向量，

（1）求的值；

（2）

（2）若的值。

解：

（1）因为

所以

又因为，所以，

即；

（2），

又因为，所以，

，所以，所以

例9．平面直角坐标系有点

（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；

（2）求的最值.

解：

（1），

即

（2），又，

，，.

说明：

三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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