二分法教案.doc
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3.1.2用二分法求方程的近似解
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：
运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.
教学目标
1.通过具体实例理解分法的概念，掌握应用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用。
2.能借助计算器或计算机求方程的近似解，让学生初步了解逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力。
3.通过具体实例的探究，激发学习的热情和学习的兴趣，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。
情感目标
体验用二分法求方程近似解的整个探究过程，感受数学理论和实际的结合，并从中体会合作探究的重要性。
重点难点
教学重点：
二分法的基本思想的理解，运用二分法求相应方程近似解的步骤和过程。
教学难点:
恰当的使用信息技术工具，利用二分法求方程的近似解，方程根所在区间的确定及给定精确度的方程的近似解。
教学方法：
动手操作、分组讨论、合作交流
教学过程
导入新课
问题1:
有16个大小相同,颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻是假的。
用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
以实际问题为背景，从学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生创造的欲望。
让学生分组讨论，合作探究，注意学生思考过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分法的角度解决问题。
问题解决：
第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；
第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；
第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；
第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币；
（动画演示过程）
用天平称4次一定可以找出这个稍轻的假币。
启示：
要找出假金币，尽量将假金币所在的范围缩小。
我们通过“平分、锁定、淘汰”的方法逐步缩小假金币所在的范围，直到满意为止。
体现了数学中的“逐步逼近”思想。
这种“平分”的方法，就是“二分法”的体现。
知识回顾：
新课教学
进而总结出二分法的定义：
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
理论依据：
知识探究
问题2:
如何求函数的零点？
利用计算机演示函数图象。
思考1：
有何办法可以使零点所在范围（区间）越来越小？
引导学生：
通过取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。
（一般地,我们把x=称为区间的中点〕
动画演示具体过程。
引导学生：
通过取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。
（一般地,我们把x=称为区间的中点〕
动画演示具体过程。
思考2：
按照上述思路，即不断地“取中点（一分为二）—判断—取中点（一分为二）—判断”，在求函数精确度为0.01的零点的近似值时，何时停止“取中点”？
引导学生：
设经过有限次反复“取中点（一分为二）—判断—取中点（一分为二）—判断”后，得到区间.若|a－b|<0.01,则区间内的任何一个值都是零点的满足精确度0.01的近似值.为方便，统一取区间端点a（或b）作为零点的近似值.
注意对精确度的解释：
（近似值与真实值的误差不超过ε）
给定精确度0.1，求的零点的过程：
由前面的分析知：
初始区间为（2，3），且
取中点次数
中点
零点所在区间
区间长度
1
2.5
-0.084
（2.5，3）
0.5
2
2.75
0.512
（2.5，2.75）
0.25
3
2.625
0.215
（2.5,2.625）
0.125
4
2.5625
0.066
（2.5，2.5625）
0.0625
计算可以终止。
所以，函数零点的近似值为2.5625（或2.5）
说明：
以上过程由学生合作完成（两人一组，一人负责用计算器计算，一人负责填表，共同找出函数零点的近似值）。
让学生从中体会二分法“逐渐逼近”的思想，并总结出用二分法求函数零点近似值的步骤。
用二分法求函数f（x）的零点近似值的步骤如下：
1.确定区间［a,b］，验证f（a）·f（b）<0，给定精度ε.
2.求区间的中点c.
3.计算f（c）:
（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点；
（2）若f（a）·f（c）<0，则此时零点x0∈（a,c）〕；（令b=c,则区间为）.
（3）若f（c）·f（b）<0，则零点x0∈（c,b）;（令a=c,则区间为）.
4.判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．
课堂练习
借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解。
（精确度0.1）
分析：
方程的解的问题可转化为函数的零点问题。
解：
原方程即，令（用计算机作出函数图象）
用计算器算得：
取中点次数
中点
零点所在区间
区间长度
1
1.5
0.328
（1,1.5）
0.5
2
1.25
-0.872
（1.25,1.5）
0.25
3
1.375
-0.281
（1.375,1.5）
0.125
4
1.4375
0.020
（1.375,1.4375）
0.0625
所以，原方程的近似解为1.4375（或1.375）
体验升华
用二分法求方程的近似解的步骤可简单用以下口诀描述：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办？
精确度上来判断.
课堂小结
提出下面问题，引导学生对本课进行小结：
问题1.我们今天学了哪些知识？
问题2.你有哪些收获？
二分法的定义，思想及用二分法求方程的近似解的步骤。
评价二分法的作用。
作业布置
课本92页习题3.13.
板书设计
3.1.2用二分法求方程的近似解
一.二分法的定义：
二.精确度：
三.用二分法求方程的近似解的步骤：
难点讲解
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