最新中考数学专题复习第29讲 尺规作图Word文件下载.docx
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(3)分析;
(4)作法;
(5)证明;
(6)讨论.其中步骤(5)(6)常不作要求,步骤(3)一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹.
已知:
如图,直线AB与直线BC相交于点B,点D是直线BC上一点.
求作:
点E,使直线DE∥AB,且点E到B,D两点的距离相等.(在题目的原图中完成作图)
结论:
BE=DE.
【思路点拨】首先以D为顶点,DC为边作一个角等于∠ABC,再作出DB的垂直平分线,即可找到点E.
解:
作图如下:
点E即为所求.
方法总结
作已知直线的平行线的实质是作一个角等于已知角.
如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P,若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为( )
A.a=bB.2a+b=-1
C.2a-b=1D.2a+b=1
解析:
根据作图方法可知射线OP是第二象限角的平分线,直线OP的解析式为y=-x,∵点P的坐标为(2a,b+1),∴2a=-b-1,即2a+b=-1.故选B.
答案:
B
如图,已知线段a及∠O,只用直尺和圆规,求作△ABC,使BC=a,∠B=∠O,∠C=2∠B.(在指定作图区域作图,保留作图痕迹,不写作法)
两个城镇A,B与两条公路l1,l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?
请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
【思路点拨】到城镇A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上,分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
如图,
(1)作出线段AB的垂直平分线;
(2)作出l1与l2所夹角的平分线(2条);
它们的交点即为所求作的点C(2个).
两条相交直线的角平分线有两条,注意避免漏解.
如图所示,直线l表示一条河,P,Q两地相距
5千米,P,Q两地到l的距离分别为2千米和4千米,欲在l上的某点M处修建一个供水站,供P,Q两地居民取水,现有如下四种方案(图中的实线表示两地居民取水所走路线),则两地居民取水所走的路程和最短的是图中的( B )
1.下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是( A )
A.两个角和其中一角的对边
B.三个角
C.两边和其中一边的对角
D.任意给出三条线段作三角形的三边
2.如图,以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以点C,D为圆心,大于
CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点E,过点E作射线OE,连结CD,则下列说法错误的是( D )
A.射线OE是∠AOB的平分线
B.△COD是等腰三角形
C.C,D两点关于OE所在直线对称
D.O,E两点关于CD所在直线对称
3.如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹
是( D )
A.以点B为圆心,OD为半径的圆
B.以点B为圆心,DC为半径的圆
C.以点E为圆心,OD为半径的圆
D.以点E为圆心,DC为半径的圆
4.如图所示,已知线段a,h,求作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h.
张红的作法是:
①作线段BC=a;
②作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;
③在直线MN上截取线段h;
④连结AB,AC,△ABC即为所求作的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是( C )
A.①B.②C.③D.④
第③步错在没说明怎样截取线段h.故选C.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠CAB=60°
.按以下步骤作图:
①分别以A,B为圆心,以大于
AB的长为半径作弧,两弧相交于点P和Q;
②作直线PQ交AB于点D,交BC于点E,连结AE.若CE=4,则AE=8.
∵∠C=90°
,∴∠B=30°
.由作图方法可知,直线PQ是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠EAB=∠B=30°
.∴∠CAE=∠CAB-∠EAB=30°
.∵CE=4,∴AE=2CE=8.
6.如图,已知线段AB.
(1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不要求写出作法).
(2)在
(1)中所作的直线l上任意取两点M,N(线段AB的上方),连结AM,AN,BM,BN.求证:
∠MAN=∠MBN.
(1)如图①,直线l为线段AB的垂直平分线.
图① 图②
(2)如图②,∵直线l为线段AB的垂直平分线,点M,N在直线l上,∴MA=MB,NA=NB(中垂线上一点到线段两端的距离相等).又∵MN=MN(公共边),∴△MAN≌△MBN(SSS),∴∠MAN=∠MBN.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠B=30°
,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP,并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;
②∠ADC=60°
;
③点D在AB的中垂线上;
④S△DAC∶S△ABC=1∶3.
A.1B.2C.3D.4
由作图方法可知①正确;
∵∠B=30°
,∠C=90°
,∴∠BAC=60°
.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠BAD=30°
,∴∠ADC=60°
,∴②正确;
∵∠BAD=∠B=30°
,∴AD=BD,∴点D在AB的中垂线上,∴③正确;
∵∠DAC=30°
,∴AD=BD=2CD,∴BC=3CD,∴S△DAC∶S△ABC=1∶3,∴④正确.故选D.
D
8.已知:
线段AB,BC,∠ABC=90°
.求作:
矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:
甲:
1.以点C为圆心,AB长为半径画弧;
2.以点A为圆心,BC长为半径画弧;
3.两弧在BC上方交于点D,连结AD,CD,四边形ABCD即为所求(如图).
乙:
1.连结AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;
2.连结BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连结AD,CD,四边形ABCD即为所求(如图).
对于两人的作业,下列说法正确的是( )
A.两人都对B.两人都不对
C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
甲作图中,由作图方法可知AD=BC,CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠B=90°
,∴平行四边形ABCD是矩形,∴甲正确;
乙作图中,由作图方法可知AM=MC,DM=BM,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠B=90°
,∴平行四边形ABCD是矩形;
综上所述,甲、乙都正确.故选A.
A
9.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出4个.
10.如图所示,已知线段a,c和∠α,求作:
△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α,根据作图把下面空格填上适当的文字或字母.
(1)如图①所示,作∠MBN=∠α;
(2)如图②所示,在射线BM上截取BC=a,在射线BN上截取BA=c;
(3)连结AC,如图③所示,△ABC就是所求作的三角形.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,点E是AC的中点.
(1)实践与操作:
利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作∠DAC的平分线AM;
②连结BE并延长交AM于点F.
(2)猜想与证明:
试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由.
(1)如图所示.
(2)AF∥BC且AF=BC.理由如下:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.由作图可得∠DAC=2∠FAC,∴∠C=∠FAC,∴AF∥BC.∵E为AC的中点,∴AE=EC.在△AEF和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB(ASA).∴AF=BC.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,8),点B(6,8).
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点P,使点P同时满足下列两个条件:
(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
①点P到A,B两点的距离相等;
②点P到∠xOy的两边的距离相等.
(2)在
(1)作出点P后,写出点P的坐标.
(1)如图所示,点P即是所求作的点.
(2)设AB的中垂线交AB于E,交x轴于F,由作图可得,EF⊥AB,EF⊥x轴,则OF=3.又∵OP是∠xOy的平分线,∴P(3,3).
13.如图,AB是半圆的直径,图①中,点C在半圆外;
图②中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图①中,画出△ABC的三条高的交点;
(2)在图②中,画出△ABC的AB边上的高.
(1)如图所示,点P就是三条高的交点.
(2)如图所示,CT就是AB边上的高.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
.
(1)先作∠ACB的平分线;
设它交AB边于点O,再以点O为圆心,OB为半径作⊙O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)证明:
AC是所作⊙O的切线;
(3)若BC=
,sinA=
,求△AOC的面积.
过点O作OE⊥AC于点E,
∵FC平分∠ACB,∴OB=OE,∴AC是所作⊙O的切线.
(3)∵sinA=
,∠ABC=90°
,
∴∠A=30°
,∴∠ACO=∠OCB=
∠ACB=30°
∵BC=
,∴AC=2
,OB=BC·
tan30°
=
×
=1,
∴OE=1.
∴△AOC的面积为:
AC×
OE=
2
1=
1.
如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下:
①作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点.
②连结AB,AC.
△ABC即为所求作的三角形.
①以D为圆心,OD的长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.
②连结AB,BC,CA.
对于甲、乙两人的作法,可判断( A )
A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误
C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
根据甲、乙两同学的作法都能确定∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
,所以△ABC为等边三角形,故甲、乙两同学的作法都是正确的.
2.小敏在作⊙O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图①.
(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连结BD,如图②.
若⊙O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( )
A.BD2=
OD
B.BD2=
OD
C.BD2=
D.BD2=
连结BM,由题意知BM=DM=
.在Rt△OBD中,根据勾股定理,得BD2=OD2+OB2=OD2+(BM2-OM2)=OD2+(BM+OM)(BM-OM)=OD2+(DM+OM)OD=(OD+DM+OM)OD=2DM·
OD=2×
OD=
OD,故选C.
C
3.如图是数轴的一部分,其单位长度为a.已知△ABC中,AB=3a,BC=4a,AC=5a.
(1)用直尺和圆规作出△ABC(要求:
使点A,C在数轴上,保留作图痕迹,不必写出作法);
(2)记△ABC外接圆的面积为S圆,△ABC的面积为S△,试说明
>
π.
(1)在数轴上确定AC,用直尺和圆规作AB=3a,BC=4a,确定点B,所作△ABC如图所示.
(2)∵AB=3a,BC=4a,AC=5a,又AB2+BC2=AC2,
∴∠B=90°
,∴AC是外接圆的直径.
∴S△=
·
3a·
4a=6a2,S圆=(
)2π=
∴
=π.
4.如图,四边形ABCD是矩形,用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法,保留作图痕迹).连结QD,在新图形中,你发现了什么?
请写出一条.
点Q即为所求作的点.
发现:
AQ⊥DQ(△AQD是等腰直角三角形等).
5.如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于
EF的长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.
(1)若∠ACD=114°
,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:
△ACN≌△MCN.
(1)∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°
又∵∠ACD=114°
,∴∠CAB=66°
由作法知,AM是∠CAB的平分线,
∴∠MAB=
∠CAB=33°
由作法知,AM平分∠CAB,∴∠CAM=∠MAB.
∵AB∥CD,∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA,
又∵CN⊥AM,CN=CN,
∴△ACN≌△MCN.
6.小明在做课本“目标与评定”中的一道题:
如图1,直线a,b所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?
(1)①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图(简要说明画法过程);
②说出该画法依据的定理.
(2)小明在此基础上进行了更深入的探究,想到两个操作:
①在图3的画板内,在直线a与直线b上各取一点,使这两点与直线a,b的交点构成等腰三角形(其中交点为顶角的顶点),画出该等腰三角形在画板内的部分.②在图3的画板内,作出“直线a,b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(在画板内的部分),只要求作出图形,并保留作图痕迹.
请你帮助小明完成上面两个操作过程.(必须要有方案图,所有的线不能画到画板外,只能画在画板内)
(1)解法一:
①如图a,在图2中画PC∥a,量出直线b与PC的夹角度数,即为直线a,b所成角的度数;
②两直线平行,同位角相等.
解法二:
①如图b,在图2中的直线a,b上各取一点A,B,连结AB,测得∠1,∠2的度数,则180°
-∠1-∠2即为直线a,b所成角的度数;
②三角形内角和为180°
(2)①如图c,在图a中以P为圆心,任意长为半径作弧,分别交直线b,PC于点B,D;
连结BD并延长交直线a于点A,则ABPQ就是所求作的图形.
②如图c,作线段AB的中垂线MN,则MN就是所求作的线.