最新中考数学专题复习第29讲 尺规作图Word文件下载.docx
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（3）分析；
（4）作法；
（5）证明；
（6）讨论．其中步骤（5）（6）常不作要求，步骤（3）一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹．
已知：
如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．
求作：
点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图）
结论：
BE＝DE.
【思路点拨】首先以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E.
解：
作图如下：
点E即为所求．
方法总结
作已知直线的平行线的实质是作一个角等于已知角.
如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b＋1），则a与b的数量关系为（ ）
A．a＝bB．2a＋b＝－1
C．2a－b＝1D．2a＋b＝1
解析：
根据作图方法可知射线OP是第二象限角的平分线，直线OP的解析式为y＝－x，∵点P的坐标为（2a，b＋1），∴2a＝－b－1，即2a＋b＝－1.故选B.
答案：
B
如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）
两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？
请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【思路点拨】到城镇A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
如图，
（1）作出线段AB的垂直平分线；
（2）作出l1与l2所夹角的平分线（2条）；
它们的交点即为所求作的点C（2个）．
两条相交直线的角平分线有两条，注意避免漏解.
如图所示，直线l表示一条河，P，Q两地相距
5千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米和4千米，欲在l上的某点M处修建一个供水站，供P，Q两地居民取水，现有如下四种方案（图中的实线表示两地居民取水所走路线），则两地居民取水所走的路程和最短的是图中的（ B ）
1．下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是（ A ）
A．两个角和其中一角的对边
B．三个角
C．两边和其中一边的对角
D．任意给出三条线段作三角形的三边
2．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于
CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连结CD，则下列说法错误的是（ D ）
A．射线OE是∠AOB的平分线
B．△COD是等腰三角形
C．C，D两点关于OE所在直线对称
D．O，E两点关于CD所在直线对称
3．如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹
是（ D ）
A．以点B为圆心，OD为半径的圆
B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆
D．以点E为圆心，DC为半径的圆
4．如图所示，已知线段a，h，求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.
张红的作法是：
①作线段BC＝a；
②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
③在直线MN上截取线段h；
④连结AB，AC，△ABC即为所求作的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ C ）
A．①B．②C．③D．④
第③步错在没说明怎样截取线段h.故选C.
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°
，∠CAB＝60°
.按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q；
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连结AE.若CE＝4，则AE＝8.
∵∠C＝90°
，∴∠B＝30°
.由作图方法可知，直线PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝30°
.∴∠CAE＝∠CAB－∠EAB＝30°
.∵CE＝4，∴AE＝2CE＝8.
6．如图，已知线段AB.
（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）．
（2）在
（1）中所作的直线l上任意取两点M，N（线段AB的上方），连结AM，AN，BM，BN.求证：
∠MAN＝∠MBN.
（1）如图①，直线l为线段AB的垂直平分线．
图① 图②
（2）如图②，∵直线l为线段AB的垂直平分线，点M，N在直线l上，∴MA＝MB，NA＝NB（中垂线上一点到线段两端的距离相等）．又∵MN＝MN（公共边），∴△MAN≌△MBN（SSS），∴∠MAN＝∠MBN.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°
，∠B＝30°
，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC＝60°
；
③点D在AB的中垂线上；
④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.
A．1B．2C．3D．4
由作图方法可知①正确；
∵∠B＝30°
，∠C＝90°
，∴∠BAC＝60°
.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝30°
，∴∠ADC＝60°
，∴②正确；
∵∠BAD＝∠B＝30°
，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，∴③正确；
∵∠DAC＝30°
，∴AD＝BD＝2CD，∴BC＝3CD，∴S△DAC∶S△ABC＝1∶3，∴④正确．故选D.
D
8．已知：
线段AB，BC，∠ABC＝90°
.求作：
矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：
1.以点C为圆心，AB长为半径画弧；
2.以点A为圆心，BC长为半径画弧；
3.两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图）．
乙：
1.连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
2.连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图）.
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
甲作图中，由作图方法可知AD＝BC，CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠B＝90°
，∴平行四边形ABCD是矩形，∴甲正确；
乙作图中，由作图方法可知AM＝MC，DM＝BM，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠B＝90°
，∴平行四边形ABCD是矩形；
综上所述，甲、乙都正确．故选A.
A
9．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出4个．
10．如图所示，已知线段a，c和∠α，求作：
△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．
（1）如图①所示，作∠MBN＝∠α；
（2）如图②所示，在射线BM上截取BC＝a，在射线BN上截取BA＝c；
（3）连结AC，如图③所示，△ABC就是所求作的三角形．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：
利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连结BE并延长交AM于点F.
（2）猜想与证明：
试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（1）如图所示．
（2）AF∥BC且AF＝BC.理由如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAC＝∠ABC＋∠C＝2∠C.由作图可得∠DAC＝2∠FAC，∴∠C＝∠FAC，∴AF∥BC.∵E为AC的中点，∴AE＝EC.在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．∴AF＝BC.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0,8），点B（6,8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件：
（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在
（1）作出点P后，写出点P的坐标．
（1）如图所示，点P即是所求作的点．
（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，则OF＝3.又∵OP是∠xOy的平分线，∴P（3,3）．
13．如图，AB是半圆的直径，图①中，点C在半圆外；
图②中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图①中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图②中，画出△ABC的AB边上的高．
（1）如图所示，点P就是三条高的交点．
（2）如图所示，CT就是AB边上的高．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
.
（1）先作∠ACB的平分线；
设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：
AC是所作⊙O的切线；
（3）若BC＝
，sinA＝
，求△AOC的面积．
过点O作OE⊥AC于点E，
∵FC平分∠ACB，∴OB＝OE，∴AC是所作⊙O的切线．
（3）∵sinA＝
，∠ABC＝90°
，
∴∠A＝30°
，∴∠ACO＝∠OCB＝
∠ACB＝30°
∵BC＝
，∴AC＝2
，OB＝BC·
tan30°
＝
×
＝1，
∴OE＝1.
∴△AOC的面积为：
AC×
OE＝
2
1＝
1．
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．
②连结AB，AC.
△ABC即为所求作的三角形．
①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
②连结AB，BC，CA.
对于甲、乙两人的作法，可判断（ A ）
A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
根据甲、乙两同学的作法都能确定∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°
，所以△ABC为等边三角形，故甲、乙两同学的作法都是正确的．
2．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图①.
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图②.
若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A．BD2＝
OD
B．BD2＝
OD
C．BD2＝
D．BD2＝
连结BM，由题意知BM＝DM＝
.在Rt△OBD中，根据勾股定理，得BD2＝OD2＋OB2＝OD2＋（BM2－OM2）＝OD2＋（BM＋OM）（BM－OM）＝OD2＋（DM＋OM）OD＝（OD＋DM＋OM）OD＝2DM·
OD＝2×
OD＝
OD，故选C.
C
3.如图是数轴的一部分，其单位长度为a.已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a.
（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：
使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）记△ABC外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明
>
π.
（1）在数轴上确定AC，用直尺和圆规作AB＝3a，BC＝4a，确定点B，所作△ABC如图所示．
（2）∵AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，又AB2＋BC2＝AC2，
∴∠B＝90°
，∴AC是外接圆的直径．
∴S△＝
·
3a·
4a＝6a2，S圆＝（
）2π＝
∴
＝π.
4．如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？
请写出一条．
点Q即为所求作的点．
发现：
AQ⊥DQ（△AQD是等腰直角三角形等）．
5．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于
EF的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.
（1）若∠ACD＝114°
，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：
△ACN≌△MCN.
（1）∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°
又∵∠ACD＝114°
，∴∠CAB＝66°
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝
∠CAB＝33°
由作法知，AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠MAB.
∵AB∥CD，∴∠MAB＝∠CMA，
∴∠CAM＝∠CMA，
又∵CN⊥AM，CN＝CN，
∴△ACN≌△MCN.
6．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：
如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；
②说出该画法依据的定理．
（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：
①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a，b的交点构成等腰三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分．②在图3的画板内，作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．
请你帮助小明完成上面两个操作过程．（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内）
（1）解法一：
①如图a，在图2中画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数；
②两直线平行，同位角相等．
解法二：
①如图b，在图2中的直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°
－∠1－∠2即为直线a，b所成角的度数；
②三角形内角和为180°
（2）①如图c，在图a中以P为圆心，任意长为半径作弧，分别交直线b，PC于点B，D；
连结BD并延长交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形．
②如图c，作线段AB的中垂线MN，则MN就是所求作的线．
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