两角和与差的正弦余弦正切公式.doc

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两角和与差的正弦余弦正切公式

教学目标

1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．（重点）

2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．（难点）

3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．（难点、易错点）

[基础·初探]

教材整理1　两角和与差的余弦公式

阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.

名称

简记符号

公式

使用条件

两角差的余弦公式

C（α－β）

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

α，β∈R

两角和的余弦公式

C（α＋β）

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

α，β∈R

cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于________．

【解析】　逆用两角和的余弦公式可得

cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos（75°＋15°）＝cos90°＝0.

【答案】　0

教材整理2　两角和与差的正弦公式

阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．

1．公式

名称

简记符号

公式

使用条件

两角和的正弦

S（α＋β）

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

α、β∈R

两角差的正弦

S（α－β）

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

α、β∈R

2.重要结论－辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝sin（x＋θ）（a，b不同时为0），其中cosθ＝，sinθ＝．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（　　）

（2）存在α，β∈R，使得sin（α－β）＝sinα－sinβ成立．（　　）

（3）对于任意α，β∈R，sin（α＋β）＝sinα＋sinβ都不成立．（　　）

（4）sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.（　　）

解：

（1）√.根据公式的推导过程可得．

（2）√.当α＝45°，β＝0°时，sin（α－β）＝sinα－sinβ.

（3）×.当α＝30°，β＝－30°时，sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．

（4）√.因为sin54°cos24°－sin36°sin24°

＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin（54°－24°）＝sin30°，故原式正确．

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）√

教材整理3　两角和与差的正切公式

阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．

名称

简记符号

公式

使用条件

两角和的正切

T（α＋β）

tan（α＋β）＝

α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）且tanα·tanβ≠1

两角差的正切

T（α－β）

tan（α－β）＝

α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）且tanα·tanβ≠－1

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tanα＋tanβ成立．（　　）

（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立．（　　）

（3）tan（α＋β）＝等价于tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1－tanαtanβ）．（　　）

解：

（1）√.当α＝0，β＝时，tan（α＋β）＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立．

（2）×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）．

（3）√.当α≠kπ＋（k∈Z），β≠kπ＋（k∈Z），α＋β≠kπ＋（k∈Z）时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）√

[小组合作型]

灵活应用和、差角公式化简三角函数式

（1）（2016·济宁高一检测）

＝（　　）

A．－ B．－

C． D．

（2）化简求值：

①；

②sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）；

③（2016·遵义四中期末）tan20°＋tan40°＋tan20°·tan40°.

（1）化简求值应注意公式的逆用．

（2）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．

解：

（1）

＝

＝

＝＝sin30°＝.

【答案】　C

（2）①原式＝

＝tan（45°＋75°）＝tan120°＝－.

∴原式＝－.

②设α＝θ＋15°，

则原式＝sin（α＋60°）＋cos（α＋30°）－cosα

＝＋－cosα＝0.

∴原式＝0.

③原式＝tan60°（1－tan20°tan40°）＋tan20°·tan40°＝.

∴原式＝.

1．公式T（α＋β），T（α－β）是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））．三者知二可表示出或求出第三个．

2．化简过程中注意“1”与“tan”、“”与“tan”、“”与“cos”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．

[再练一题]

1．化简求值：

（1）cos61°cos16°＋sin61°sin16°；

（2）sin13°cos17°＋cos13°sin17°；

（3）.

解：

（1）原式＝cos（61°－16°）＝cos45°＝.

（2）原式＝sin（13°＋17°）＝sin30°＝.

（3）原式＝＝－＝－.

给值求值

　（2016·普宁高一检测）已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin（α＋β）的值.【导学号：

00680069】

可先考虑拆角，π＋α＋β＝＋，然后再利用sin（α＋β）＝－sin（π＋α＋β）求值．

解：

因为<α<π，所以<＋α<π.

所以sin＝＝.

又因为0<β<，π<π＋β<π，

所以cos＝－＝－，

所以sin（α＋β）＝－sin（π＋α＋β）

＝－sin＝

－

＝－

＝.

1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝（α＋β）－α这一关系．

2．常见角的变换为

（1）2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α；

（2）＝－，

＝－；

（3）＋＝＋（α＋β）；

（4）＋＝＋（α－β）．

[再练一题]

2．已知cosα＝－，α∈，tanβ＝－，β∈，求cos（α＋β）．

解：

因为α∈，

cosα＝－，所以sinα＝－.

因为β∈，tanβ＝－，

所以cosβ＝－，sinβ＝.

所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝－×－×＝.

给值求角

　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋β的值．

→→→

→

解：

∵sinα＝，α为锐角，

∴cosα＝＝.

又sinβ＝，β为锐角，

∴cosβ＝＝.

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝×－×＝.

又α，β∈，

∴0<α＋β<π，

因此α＋β＝.

1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大（小），导致求出的角不合题意或者漏解．

2．求角的大小，要解决两点：

（1）确定所求角的范围，

（2）求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．

[再练一题]

3．若把本例题的条件改为“α∈，β∈，且cos（α－β）＝，sinβ＝－”，试求角α的大小．

解：

∵α∈，β∈，∴α－β∈（0，π），

由cos（α－β）＝，知sin（α－β）＝.

由sinβ＝－，知cosβ＝.

∴sinα＝sin[（α－β）＋β]

＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ

＝×＋×＝.

又α∈，∴α＝.

[探究共研型]

辅助角公式的应用

探究1　函数y＝sinx＋cosx（x∈Z）的最大值为2对吗？

为什么？

【提示】　不对．因为sinx＋cosx

＝

＝

＝sin.

所以函数的最大值为.

探究2　函数y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？

【提示】　因为y＝3sinx＋4cosx＝5，

令cosφ＝，sinφ＝，

则y＝5（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝5sin（x＋φ），

所以函数y的最大值为5.

探究3　如何推导asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）公式．

【提示】　asinx＋bcosx

＝，

令cosφ＝，sinφ＝，则

asinx＋bcosx＝（sinxcosφ＋cosxsinφ）

＝sin（x＋φ）（其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ＝确定，或由sinφ＝和cosφ＝共同确定）．

　当函数y＝sinx－cosx（0≤x<2π）取得最大值时，x＝________.

可先用公式Sα±β将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）形式再求最大值对应的x值．

解：

函数为y＝sinx－cosx＝2

＝2

＝2sin，

当0≤x<2π时，－≤x－<，

所以当y取得最大值时，x－＝，所以x＝.

【答案】　

1．对于形如sinα±cosα，sinα±cosα的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．

2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．

[再练一题]

4．函数f（x）＝sinx－cos的值域为（　　）

A．[－2，2] B．

C．[－1，1] D．

解：

f（x）＝sinx－cos

＝sinx－cosx＋sinx

＝sinx－cosx

＝sin，

所以函数f（x）的值域为[－，]．

故选B．

【答案】　B

[构建·体系]

1．（2016·清远期末）化简：

sin21°cos81°－cos21°·sin81°等于（　　）

A． B．－

C． D．－

解：

原式＝sin（21°－81°）＝－sin60°＝－.故选D．

【答案】　D

2．已知α是锐角，sinα＝，则cos等于（　　）

A．－ B．

C．－ D．

解：

因为α是锐角，sinα＝，

所以cosα＝，

所以cos＝×－×＝.故选B．

【答案】　B

3．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是（　　）

A． B．π

C．2π D．4π

解：

y＝sinx－cosx＝sin，所以T＝2π.

【答案】　C

4．计算＝________．

解：

＝

＝tan45°＝1.

【答案】　1

5．已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求α－β.

解：

∵α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，

∴sinβ＝，cosα＝.

∵sinα

∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

＝×－×＝－，∴α－β＝－.

学业分层测评

[学业达标]

一、选择题

1．若α＋β＝，则（1＋tanα）（1＋tanβ）等于（　　）

A．1 B．－1

C．2 D．－2

解：

（1＋tanα）（1＋tanβ）

＝1＋（tanα＋tanβ）＋tanαtanβ

＝1＋tan（α＋β）（1－tanαtanβ）＋tanαtanβ

＝1＋tan·（1－tanαtanβ）＋tanαtanβ＝2.

【答案】　C

2．cosα