上海市闸北区2015届高三二模数学理试题(含详细答案).doc

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闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷

考生注意：

1.本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效

2.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码

3.本试卷共有18道试题，满分150分，考试时间120分钟

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分

1.设幂函数的图像经过点，则函数的奇偶性为.

2.设复数，在复平面的对应的向量分别为，则向量对应的复数所对应的点的坐标为.

3.已知定义域为的函数的图像关于点对称，是的反函数，若，则.

4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，其中，已知投篮一次得分的期望是2，则的最大值是.

5.设数列的前项和，则.

6.设函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围.

7.若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是.

9.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为原点，则的值是.

10.把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列.

（a） （b）

二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律零分

11.下列命题中，正确的个数是

（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；

（2）为异面直线，则过且与平行的平面有且仅有一个；

（3）直四棱柱是直平行六面体

（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）

A.0B.1C.2D.3

12.在极坐标系中，关于曲线:

，下列判断中正确的是（）

A.曲线关于直线B.曲线关于直线

C.曲线关于点对称D.曲线关于点对称

13.已知是正三角形内部的一点，,则的面积与的面积之比是（）

A.B.C.D.

三、解答题（本题满分75分）本题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要步骤

14.（本题满分12分，第

（1）小题5分，第

（2）小题7分）

如图是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心，是圆上不与重合的任意一点，

（1）求直线与直线所成角的大小；

（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积

15.（本题满分13分，第

（1）小题各5分，第

（2）小题各8分）

如图所示，某市拟在长为道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，且.

（1）求两点间的直线距离；

（2）求折线段赛道长度的最大值.

16.（本题满分16分，第

（1）小题5分，第

（2）小题9分）

已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？

若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

17.（本题满分18，第

（1）小题4分，第

（2）小题5分，第

（2）小题9分）

设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换.

（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换?

说明你的理由；

①，；

②，.

（2）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，那么“”是否是“是的一个等值变换”的一个必要条件？

说明理由.

（3）设的定义域为，已知是的一个等值变换，且函数的定义域为，求实数的值.

18.（本题满分18分，第

（1）小题4分，第

（2）小题6分，第（3）小题8分）

我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作.已知向量列满足：

，.

（1）证明：

数列是等比数列；

（2）设，问数列中是否存在最小项？

若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由.

（3）设表示向量与间的夹角，若，对于任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

理科答案

一．填空题

1、偶函数；2、3、4、5、

6、7、8、9、①②④10、1030

二．选择题

11、B12、A13、B

三．解答题

14、

（1）………………………………………………………5分

（2）………………………………………………………………7分

15、

解

（1）依题意，有…………………………………………1分

又，而，………………………1分

当时，，，又

………………………………………3分

（2）解：

法一：

在中，，.

设，则.……………………………………1分

由正弦定理得，，

，……………………………………………………3分

故……3分

，当时，折线段赛道最长为.……………2分

解法二：

（2）在中，，

由余弦定理得，

即；…………………………3分

故，从而…4分

即，当且仅当时等号成立.………………2分

亦即，设计为时，折线段赛道最长为.

注：

本题第

（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：

①；②；③点在线段的垂直平分线上等.

16、

（1）的垂直平分线交于点，.………………1分

，

所以动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆.…………………………2分

设椭圆的标准方程为，则，，，故椭圆的标准方程为…………………………………………………………2分

（2）直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程得，即

，易知点在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交于两点.…1分

设，则，……………………2分

假设在y轴上存在定点满足题设，则.因为以AB为直径的圆恒过点D，则.……………………2分

即，因为，

所以（*）变为

.………3分

由假设得对于任意的，恒成立，即，解得.因此，在y轴上存在点D，点D的坐标为………………………………………………3分

17、

（1）①不是……………………………………………………………………2分

②，即的值域为，

当时，，即的值域仍为，所以是的一个等值域变换.………………………………………………2分

（2）不必要性的反例：

此时，但的值域仍为，

即是的一个等值域变换.（反例不唯一）………………3分

（3）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，所以的值域为，……………………2分

，……………………………………1分

所以，恒有，………………………………………………3分

解得.……………………………………………………………………3分

18、

（1）

数列是等比数列………………………………………………3分

（2），………………2分

假设中的第项最小，由，，

当时，有，又由可得，

即，.

，或（舍），.…………2分

即有；

由，得，又，；………………2分

故数列中存在最小项，最小项是………………………………1分

（3），……………………………………1分

………………………………………………………………1分

不等式化为：

对任意正整数恒成立.

设.

又，数列单调递增……………………………………………………2分

，要使不等式恒成立，只要，……1分

，，，

所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是…………2分

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