（4）最小数原理：
自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数。
2、整数性质的应用
（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值；在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能求出变量的范围，但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散型求出变量的值
（2）整除问题：
若表达式形式较为简单，可通过对常熟进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：
当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解，通常处理方式有两个：
①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量
②将一个字母视为变量（其余视为参数）进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散型求得参数的值
（4）反证法：
运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有一下几点：
①解得变量非整数，或不符合已知范围
②等式两侧为一奇一偶
3、问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n项和的项数，均为正整数。
典型例题
1.已知数列的通项公式为，若为数列中的项，则
答案：
2.若数列，求的值，使得。
引申探究：
若将改成，试求值。
答案：
3.已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设是否存在，使得成立？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
答案：
（1）；
（2）
4.已知各项均为正数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起一次成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得
答案：
（1）；
（2）
5.已知数列的前项和为，且满足
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在整数对，使得等式成立？
若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由。
答案：
（1）；
（2）；（3）
6.已知数列是各项均不为0的等差数列，是其前项和，且满足，令，数列的前项和为
（1）求数列的通项公式及；
（2）是否存在正整数，使得成等比数列？
若存在，请求出所有的；若不存在，请说明理由。
答案：
（1），；
（2）；（3）
7.已知各项均为正数的数列满足：
，且
（1）设求数列的通项公式；
（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数。
答案：
（1）；
（2）
8.已知为等差数列，前项和为，若
（1）求；
（2）对，将中落入区间内项的个数记为，①求；②记，的前项和记为，是否存在，使得成立？
若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
答案：
（1）；
（2）；
9.已知数列为等差数列，数列为等比数列，且对任意的，都有，若，则：
（1）求数列，的通项公式；
（2）试探究：
数列中是否存在一项，它可以表示为该数列中其他项的和？
若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由。
答案：
（1）；
（2）不成立
10.已知等差数列的首项为，公差为，对于任意的，均存在，使得成立，则
答案：
历年好题精选
1.用部分自然数构造如图的数表：
用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为
（1）写出，并写出与的递推关系（不要求证明）
（2）令，证明：
是等比数列，并求出的通项公式；
（3）数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？
若存在，求出的关系，若不存在，说明理由。
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
……
答案：
2.已知满足，其中是数列的前项和。
（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式
（2）若，求数列的通项公式；
（3）在
（2）的条件下，设，求证：
数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积。
答案：
3.已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式
（2）若，求正整数的值；
（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？
若存在，求出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由。
答案：
4.已知数列满足
（1）求证：
数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列；满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？
若存在，试用表示；若不存在，请说明理由。
答案：
数列中的不等关系
一、基础知识
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求得数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点。
2、如何判断数列的单调性
（1）函数角度：
从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。
（2）相邻项比较：
在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性。
通常的手段就是作差或作商
典型例题
1.已知数列，，前项和满足
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围。
答案：
（1）；
（2）
2.已知数列中，，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值是………………………………………………（）
A.5 B.4 C.3 D.2
答案：
B
3.已知数列,满足，若为等比数列，且
（1）求；
（2）设，记数列的前项和为
①求
②求正整数，使得对于，均有
答案：
（1）；
（2）；
4.已知数列的前项和为，且，数列满足，其前9项和为63
（1）求；
（2）设，记数列的前项和为，对，均有，求最小值。
答案：
（1）；
（2）
5.数列的前项和，数列满足，其前9项和为63
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：
当时，数列为等比数列；
（3）在
（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围。
答案：
（1）；
（2）略；（3）
6.设为数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若存在正数，使得对任意整数都有成立，求的最大值。
答案：
（1）；
（2）17
7.已知各项都为整数的数列的前项和为，且对任意的都有（其中且为常数），记数列的前项和为
（1）求数列的通项公式及；
（2）当时，将数列的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记的前项和为，若存在，使得对任意都有恒成立，求实数的取值范围。
答案：
（1）；
（2）
8.已知数列的前项和，数列满足
（1）求证：
数列的是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足（为非零整数，）问是否存在整数使得对任意，都有
答案：
（1）；
（2）
9.已知数列的前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）设，若集合恰有4个元素，则实数的取值范围。
答案：
（1）；
（2）
10.已知数列满足
（1）当时，求数列的前项和；
（2）若对任意，都有成立，求的取值范围。
答案：
（1），为奇数；，为偶数；
（2）
数列中的不等关系历年好题
1.已知数列的前项和为，且
（1）若，求数列的前项和；
（2）若，求证：
数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值。
答案：
2.已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求证：
答案：
3.已知数列满足：
，
（1）证明：
数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设（为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有成立。
答案：
4.已知数列中，（为非零常数），其前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，求的值；
（3）是否存在实数使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？
若存在，分别求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
答案：
5.数列的前项和为，且对一切正整数都有
（1）求证：
；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使得不等式对一切正整数都成立？
若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
答案：
6.已知函数，数列满足
（1）求的通项公式；
（2）令，若对一切成立，求最小正整数；
答案：
7.已知数列的前项和为，且，数列满足，对任意，都有
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围。
答案：
新信息背景下的数列问题
一、基础知识
1、问题常涉及的知识点
（1）等差数列与等比数列的性质和求和公式
（2）数列的单调性
（3）放缩法证明不等式
（4）简单的有关整数论
（5）数学归纳法与反证法
2、解决此类问题的一些技巧
（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第
（1）问让你熟悉所创设的定义域背景，第
（2）（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是所学的一些基础知识与方法。
所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索。
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中发现重复情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。
典型例题
1.定义：
若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”；
（1）若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的值；
（2）若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？
若是，求出的值；若不是，请说明理由；
（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列
答案：
（1）
（2）不是“完全平方数”；（3）
2.已知数列的前项和为，且满足，设
（1）求证：
数列是等比数列；
（2）若，求实数的最小值；
（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成的形式，则称为“指数型”和，问：
中是的项是否存在“指数型”和，若存在，求
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