七宝中学数列中的整除问题-0210(完整).docx
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数列中的整除问题
数列中的不等关系
数列中的整除问题
基础知识
1、整数的基本性质
(1)整数的和、差、积仍为整数
(2)整数的奇偶性,运算规律
(3)若a,b∈Z,且a
(4)最小数原理:
自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数。
2、整数性质的应用
(1)若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值;在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能求出变量的范围,但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散型求出变量的值
(2)整除问题:
若表达式形式较为简单,可通过对常熟进行因数分解,进而确定变量的取值;若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理。
(3)多元整数不定方程:
当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解,通常处理方式有两个:
①通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量
②将一个字母视为变量(其余视为参数)进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散型求得参数的值
(4)反证法:
运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有一下几点:
①解得变量非整数,或不符合已知范围
②等式两侧为一奇一偶
3、问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数,以及前n项和的项数,均为正整数。
典型例题
1.已知数列的通项公式为,若为数列中的项,则
答案:
2.若数列,求的值,使得。
引申探究:
若将改成,试求值。
答案:
3.已知数列的前项和为,且
(1)求数列的通项公式;
(2)设是否存在,使得成立?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
答案:
(1);
(2)
4.已知各项均为正数的数列满足,前6项依次成等差数列,从第五项起一次成等比数列
(1)求数列的通项公式;
(2)求出所有的正整数,使得
答案:
(1);
(2)
5.已知数列的前项和为,且满足
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在整数对,使得等式成立?
若存在,请求出所有满足条件的;若不存在,请说明理由。
答案:
(1);
(2);(3)
6.已知数列是各项均不为0的等差数列,是其前项和,且满足,令,数列的前项和为
(1)求数列的通项公式及;
(2)是否存在正整数,使得成等比数列?
若存在,请求出所有的;若不存在,请说明理由。
答案:
(1),;
(2);(3)
7.已知各项均为正数的数列满足:
,且
(1)设求数列的通项公式;
(2)设,求,并确定最小正整数,使得为整数。
答案:
(1);
(2)
8.已知为等差数列,前项和为,若
(1)求;
(2)对,将中落入区间内项的个数记为,①求;②记,的前项和记为,是否存在,使得成立?
若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。
答案:
(1);
(2);
9.已知数列为等差数列,数列为等比数列,且对任意的,都有,若,则:
(1)求数列,的通项公式;
(2)试探究:
数列中是否存在一项,它可以表示为该数列中其他项的和?
若存在,请求出该项,若不存在,请说明理由。
答案:
(1);
(2)不成立
10.已知等差数列的首项为,公差为,对于任意的,均存在,使得成立,则
答案:
历年好题精选
1.用部分自然数构造如图的数表:
用表示第行第个数,使得,每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,设第行中的各数之和为
(1)写出,并写出与的递推关系(不要求证明)
(2)令,证明:
是等比数列,并求出的通项公式;
(3)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列?
若存在,求出的关系,若不存在,说明理由。
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
……
答案:
2.已知满足,其中是数列的前项和。
(1)若数列是首项为,公比为的等比数列,求数列的通项公式
(2)若,求数列的通项公式;
(3)在
(2)的条件下,设,求证:
数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积。
答案:
3.已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列的前项和为,且满足
(1)求数列的通项公式
(2)若,求正整数的值;
(3)是否存在正整数,使得恰好为数列中的一项?
若存在,求出所有满足条件的的值,若不存在,请说明理由。
答案:
4.已知数列满足
(1)求证:
数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设数列;满足,对于任意给定的正整数,是否存在正整数,使得成等差数列?
若存在,试用表示;若不存在,请说明理由。
答案:
数列中的不等关系
一、基础知识
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关,而要求得数列中的最值项,要依靠数列的单调性,所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点。
2、如何判断数列的单调性
(1)函数角度:
从通项公式入手,将其视为关于n的函数,然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。
(2)相邻项比较:
在通项公式不便于直接分析单调性时,可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性。
通常的手段就是作差或作商
典型例题
1.已知数列,,前项和满足
(1)求的通项公式;
(2)设,若数列是单调递减数列,求实数的取值范围。
答案:
(1);
(2)
2.已知数列中,,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则整数的最小值是………………………………………………()
A.5 B.4 C.3 D.2
答案:
B
3.已知数列,满足,若为等比数列,且
(1)求;
(2)设,记数列的前项和为
①求
②求正整数,使得对于,均有
答案:
(1);
(2);
4.已知数列的前项和为,且,数列满足,其前9项和为63
(1)求;
(2)设,记数列的前项和为,对,均有,求最小值。
答案:
(1);
(2)
5.数列的前项和,数列满足,其前9项和为63
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:
当时,数列为等比数列;
(3)在
(2)的条件下,设数列的前项和为,若数列中只有最小,求的取值范围。
答案:
(1);
(2)略;(3)
6.设为数列的前项和,且
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,若存在正数,使得对任意整数都有成立,求的最大值。
答案:
(1);
(2)17
7.已知各项都为整数的数列的前项和为,且对任意的都有(其中且为常数),记数列的前项和为
(1)求数列的通项公式及;
(2)当时,将数列的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项,记的前项和为,若存在,使得对任意都有恒成立,求实数的取值范围。
答案:
(1);
(2)
8.已知数列的前项和,数列满足
(1)求证:
数列的是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设数列满足(为非零整数,)问是否存在整数使得对任意,都有
答案:
(1);
(2)
9.已知数列的前项和为,且
(1)求的通项公式;
(2)设,若集合恰有4个元素,则实数的取值范围。
答案:
(1);
(2)
10.已知数列满足
(1)当时,求数列的前项和;
(2)若对任意,都有成立,求的取值范围。
答案:
(1),为奇数;,为偶数;
(2)
数列中的不等关系历年好题
1.已知数列的前项和为,且
(1)若,求数列的前项和;
(2)若,求证:
数列是等比数列,并求其通项公式;
(3)记,若对任意的恒成立,求实数的最大值。
答案:
2.已知数列是首项的等比数列,其前项和中成等差数列
(1)求数列的通项公式;
(2)设,若,求证:
答案:
3.已知数列满足:
,
(1)证明:
数列为等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)设(为非零整数),试确定的值,使得对任意,都有成立。
答案:
4.已知数列中,(为非零常数),其前项和满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且,求的值;
(3)是否存在实数使得对任意正整数,数列中满足的最大项恰为第项?
若存在,分别求出的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案:
5.数列的前项和为,且对一切正整数都有
(1)求证:
;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在实数,使得不等式对一切正整数都成立?
若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案:
6.已知函数,数列满足
(1)求的通项公式;
(2)令,若对一切成立,求最小正整数;
答案:
7.已知数列的前项和为,且,数列满足,对任意,都有
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围。
答案:
新信息背景下的数列问题
一、基础知识
1、问题常涉及的知识点
(1)等差数列与等比数列的性质和求和公式
(2)数列的单调性
(3)放缩法证明不等式
(4)简单的有关整数论
(5)数学归纳法与反证法
2、解决此类问题的一些技巧
(1)此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣,层层递进”的特点,第
(1)问让你熟悉所创设的定义域背景,第
(2)(3)问便进行进一步的应用,那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论,因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。
(2)尽管此类题目与传统的数列“求通项,求和”的风格不同,但其根基也是所学的一些基础知识与方法。
所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢,弄清本问考察的与哪个知识点有关,以便找到一些线索。
(3)在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则,以相对简单的情况入手,可能在解决的过程中发现重复情况与该情况的联系,或者发现一些通用的做法与思路,使得复杂情况也有章可循。
典型例题
1.定义:
若对任意,数列的前项和都为完全平方数,则称数列为“完全平方数列”;特别的,存在,使得数列的前项和为完全平方数,则称数列为“部分平方数列”;
(1)若数列为“部分平方数列”,且,求使数列的前项和为完全平方数时的值;
(2)若数列的前项和,那么数列是否为“完全平方数列”?
若是,求出的值;若不是,请说明理由;
(3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列
答案:
(1)
(2)不是“完全平方数”;(3)
2.已知数列的前项和为,且满足,设
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)若,求实数的最小值;
(3)当时,给出一个新数列,其中,设这个新数列的前项和为,若可以写成的形式,则称为“指数型”和,问:
中是的项是否存在“指数型”和,若存在,求