高考数学一轮复习第八章立体几何83空间点直线平面之间的位置关系学案理Word文档格式.docx

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3

判断点共线、线共点问题：

直接法（直接运用公理或定理）．

（1）如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°

，BC＝AD，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．

①四边形BCHG的形状是________；

②点C，D，E，F，G中，能共面的四点是________．

①平行四边形　②C，D，E，F

解析：

①∵G，H分别为FA，FD的中点，

∴GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC，

所以四边形BCHG为平行四边形．

②由BE＝FA，G为FA的中点知，BE＝FG，

所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.

由

（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．

又D∈FH，所以C，D，E，F四点共面．

（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC与BD交于点M，则点O与直线C1M的关系是________．

点O在直线C1M上

如图所示，因为A1C⊂平面A1ACC1，O∈A1C，所以O∈平面A1ACC1，而O是平面BDC1与直线A1C的交点，所以O∈平面BDC1，所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上．因为AC∩BD＝M，所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1，所以平面BDC1∩平面A1ACC1＝C1M，所以O∈C1M.

[典题1]　

（1）以下四个命题中，正确命题的个数是（　　）

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0B．1

C．2D．3

[答案]　B

[解析]　

①显然是正确的，可用反证法证明；

②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；

③构造长方体如图，显然b，c异面，故不正确；

④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．

（2）已知空间四边形ABCD（如图所示），E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.

求证：

①E，F，G，H四点共面；

②三直线FH，EG，AC共点．

[证明]　①连接EF，GH，

∵E，F分别是AB，AD的中点，

∴EF∥BD.

又∵CG＝BC，CH＝DC，

∴GH∥BD，∴EF∥GH，

∴E，F，G，H四点共面．

②易知FH与直线AC不平行，但共面，

∴设FH∩AC＝M，

∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.

又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，

∴FH，EG，AC共点．

[点石成金]　共面、共线、共点问题的证明

（1）证明点或线共面问题的两种方法：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

（2）证明点共线问题的两种方法：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

（3）证明线共点问题的常用方法：

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

考点2　空间两直线的位置关系

（1）[教材习题改编]已知直线a与b平行，直线c与b相交，则直线a与c的位置关系是________．

相交或异面

当直线c在直线a与b确定的平面内时，a与c相交；

当直线c与直线a，b确定的平面相交时，a与c异面．

（2）[教材习题改编]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AQ的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为________．（填序号）

①平行；

②异面；

③相交但不垂直；

④垂直．

①

∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C.

又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面AB1C.

∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1，

同理B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C，

∴PQ∥BD1.

两条直线关系判断误区：

异面直线概念、理解不透．

下列关于异面直线的说法正确的是________．

①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；

④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．

④

①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确．

[考情聚焦]　空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点．

主要有以下几个命题角度：

角度一

两直线位置关系的判定

[典题2]　

（1）已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：

①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；

②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；

③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.

其中正确的个数为（　　）

[解析]　解法一：

在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．

解法二：

构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．

（2）[2017·

浙江余姚模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（　　）

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

[答案]　D

[解析]　如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；

∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴CC1⊥BD，

∴MN与CC1垂直，故A正确；

∵AC⊥BD，MN∥BD，

∴MN与AC垂直，故B正确；

∵A1B1与BD异面，MN∥BD，

∴MN与A1B1不可能平行，故D错误．故选D.

[点石成金]　点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．

角度二

异面直线的判定

[典题3]　

（1）在下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）

①　　　　②

③　　　　④

[答案]　②④

[解析]　图①中，直线GH∥MN；

图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．

（2）如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．

[答案]　3

[解析]　平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

[点石成金]　异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

考点3　异面直线所成角

[典题4]　如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．

连接A1C1，由AB＝1知，

AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝，

故cos∠A1BC1＝＝.

则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.

[题点发散1]　将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变．

解：

因平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，则AA1＝1.

此时正四棱柱变为正方体ABCD－A1B1C1D1，

由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1.

则△A1BC1为等边三边形，

∴∠A1BC1＝60°

，

∴cos∠A1BC1＝，

故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.

[题点发散2]　将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，试求的值．

设＝t，则AA1＝tAB.

∵AB＝1，∴AA1＝t.

∵A1C1＝，A1B＝＝BC1，

∴cos∠A1BC1＝＝，

∴t＝3，即＝3.

[题点发散3]　将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等．若存在，存在几条？

若不存在，请说明理由．

由条件知，此时正四棱柱为正方体．

如图，连接对角线AC1，

显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线．

如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，

所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．

同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条．

[点石成金]　用平移法求异面直线所成的角的三个步骤

（1）一作：

即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

（2）二证：

即证明作出的角是异面直线所成的角；

（3）三求：

解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；

如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°

，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小．

解法一：

如图，取AC的中点P，连接PM，PN，

则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，

所以∠MPN（或其补角）为AB与CD所成的角．

则∠MPN＝60°

或∠MPN＝120°

.

若∠MPN＝60°

因为PM∥AB，

所以∠PMN（或其补角）是AB与MN所成的角．

又因为AB＝CD，所以PM＝PN，

则△PMN是等边三角形，

所以∠PMN＝60°

即AB与MN所成的角为60°

若∠MPN＝120°

则易知△PMN是等腰三角形．

所以∠PMN＝30°

即AB与MN所成的角为30°

综上知，直线AB和MN所成的角为60°

或30°

由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，如图，

由M，N分别是BC，AD的中点，所以MN∥AA1，

即∠BAA1（或其补角）为AB与MN所成的角．

连接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD，

即∠AOA1（或其补角）为AB与CD所成的角．

所以∠AOA1＝60°

或120°

由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°

所以直线AB和MN所成的角为60°

[方法技巧]　1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．

2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．

3．判定空间两条直线是异面直线的方法

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

4．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关．

[易错防范]　1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线，不要理解成“不在同一个平面内”．

2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．

3．两条异面直线所成角的范围是.

4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．

真题演练集训

1．[2016·

新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（　　）

A.B.

A

因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，故选A.

2．[2015·

安徽卷]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

D

可以结合图形逐项判断．

A项，α，β可能相交，故错误；

B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故选D.

3．[2014·

辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；

若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；

若m⊥α，m⊥n，则n∥a或n⊂α，C错；

若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．

如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.

A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n⊂α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．

4.[2015·

浙江卷]如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，

∴MK∥AN，

∴∠KMC即为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，

由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，

∴MK＝.

在Rt△CKN中，CK＝＝.

在△CKM中，由余弦定理，得

cos∠KMC＝＝.

课外拓展阅读

构造平面研究直线相交问题

[典例1]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

[思路分析]　

如图所示，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．

在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，

设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．

由点P的任意性知，有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．

[答案]　无数

温馨提示

1．本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．

2．注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．