三角函数复习教案.doc

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【讲练平台】

例1已知角的终边上一点P（－，m），且sinθ=m，求cosθ与tanθ的值．

分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．

解由题意知r=，则sinθ==．

又∵sinθ=m，∴=m．∴m=0，m=±．

当m=0时，cosθ=－1，tanθ=0；

当m=时，cosθ=－，tanθ=－；

当m=－时，cosθ=－，tanθ=．

点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法（三角函数的定义）解决．

例2已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．

分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之．

解E=｛θ｜＜θ＜}，F=｛θ｜＜θ＜π，或＜θ＜2π}，

∴E∩F=｛θ｜＜θ＜π}．

例3设θ是第二象限角，且满足｜sin|=－sin，是哪个象限的角?

解∵θ是第二象限角，∴2kπ+＜θ＜2kπ+，k∈Z．

∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z．

∴是第一象限或第三象限角．①

又∵｜sin|=－sin，∴sin＜0.∴是第三、第四象限的角．②

由①、②知，是第三象限角．

点评已知θ所在的象限，求或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错．

第2课同角三角函数的关系及诱导公式

【考点指津】

掌握同角三角函数的基本关系式：

sin2α+cos2α=1，=tanα，tanαcotα=1，掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题．

【讲练平台】

例1化简．

分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．

解原式==

==1．

点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．

例2若sinθcosθ=，θ∈（，），求cosθ－sinθ的值．

分析已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．

解（cosθ－sinθ）2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－=．

∵θ∈（，），∴cosθ＜sinθ．

∴cosθ－sinθ=－．

变式1条件同例，求cosθ+sinθ的值．

变式2已知cosθ－sinθ=－，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．

点评sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．

例3已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．

分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．

解原式=cos2θ+sinθcosθ===．

点评1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．

2．注意1的作用:

1=sin2θ+cos2θ等．

第3课两角和与两角差的三角函数

（一）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．

【讲练平台】

例1已知sinα－sinβ=－，cosα－cosβ=，求cos（α－β）的值．

分析由于cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．

解∵sinα－sinβ=－，①cosα－cosβ=，②

①2＋②2，得2－2cos（α－β）=．

∴cos（α－β）=．

点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．

例2求的值．

分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．

解∵10°=30°－20°，

∴原式=

===．

点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3已知：

sin（α+β）=－2sinβ．求证：

tanα=3tan（α+β）．

分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．

解∵2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α，

∴sin［（α+β）+α］=－2sin［（α+β）－α］．

∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=－2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα．

若cos（α+β）≠0，cosα≠0，则3tan（α+β）=tanα．

点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体

第4课两角和与两角差的三角函数

（二）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．

【讲练平台】

例1求下列各式的值

（1）tan10°＋tan50°+tan10°tan50°；

（2）．

（1）解原式=tan（10°+50°）（1－tan10°tan50°）+tan10°tan50°=．

（2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．

解原式==

=

=

点评

（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan（A+B）（1－tanAtanB），asinx+bsinx=sin（x+φ）的运用；

（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．

例2求证=．

分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．

由欲证的等式可知，可先证等式=，此式的右边等于tan2θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．

证略

点评注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式：

①升幂公式1+cos2α=2cos2α，1－cos2α=2sin2α，②降幂公式sin2α=，cos2α=的运用；三角恒等式证明的方法：

从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．

例3已知cos（+x）=，＜x＜，求的值．

解原式==sin2x×=sin2xtan（+x）

=－cos［2（x+）］tan（x+）=－［2cos2（x+）－1］tan（+x）

∵＜x＜，∴＜x+＜2π．

∴sin（+x）=－，∴tan（+x）=－．

∴原式=－．

点评

（1）注意两角和公式的逆用；

（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+．

第5课三角函数的图象与性质

（一）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．

【讲练平台】

例1

（1）函数y=的定义域为

（2）若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足（C）

A．α＞βB．α＜βC．α+β＜D．α+β＞

分析

（1）函数的定义域为（*）的解集，由于y=tanx的最小正周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出（－，）上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，或2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}．

分析

（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cosβ转化成sin（－β），运用y=sinx在［0，］的单调性，便知答案为C．

点评

（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；

（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．

例2判断下列函数的奇偶性：

（1）y=；

（2）y=

分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f（－x）是否等于f（x）或－f（x）．

解

（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．

（2）定义域不关于原点对称（如x=－，但x≠），故不是奇函数，也不是偶函数．

点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．

例3求下列函数的最小正周期：

（1）y=sin（2x－）sin（2x+）；

（2）y