三垂线法求二面角专题.doc

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（精品）三垂线法求二面角专题

1、（本小题满分13分）如图，已知DA⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，在△ABE中，AE=1，BE=。

（Ⅰ）证明：

平面ADE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

解：

（Ⅰ）DA⊥平面ABE，∴DA⊥BE

△ABE中，AE=1BE=AB=2∴BE⊥EA

平面ADE⊥平面BCE

（注：

此题也可证明，，从而平面ADE⊥平面BCE）

（Ⅱ）过点E作EF⊥AB与F

∵DA⊥平面ABE∴平面ABCD⊥平面ABE

∴EF⊥平面ABCD过F作FG⊥AC与G，连EG，则EG⊥AC（三垂线定理）

∴∠EGF为二面角B—AC—E的平面角。

在Rt△EFG中

（注：

此题答案还可写成或者是写成）

2、（本小题满分12分）如图，为直角梯形，，，，平面，。

⑴、求点到的距离；

A

B

C

D

P

G

H

F

⑵、求证：

平面平面；

⑶、求平面与平面所成二面角的大小。

⑴解：

取的中点，连结。

易证四边形是正方形，

∴又∵

∴，∴

∴

即

∵平面∴

∴到的距离为，

⑵证明：

∵，

且，

∴平面

又∵平面

∴平面平面

⑶解：

延长交的延长线于，连结。

∴平面平面，

易证平面

过作，垂足为，连结，

得到为所求二面角的平面角

，

∴∴平面与平面所成二面角为

（注：

此题答案还可写成或者是写成，并且也可用射影面积法求解）

3、（12分）如图：

已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。

（1）求证：

平面EDB⊥平面PBC；

（2）求二面角的平面角的正切值。

【解析】

（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：

证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，，那么我们自然想到：

是否有？

这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。

∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，

∴DE在平面ABCD内的射影就是DC。

在正方形ABCD中，DC⊥CB，

∴DE⊥CB。

又，PC、，

∴DE⊥。

又面EDB，

∴平面EDB⊥平面PBC。

（2）由

（1）的证明可知：

DE⊥。

所以，就是二面角的平面角。

∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，

又平面ABCD内的直线CB⊥DC。

∴CB⊥面PDC。

又面PDC，

∴CB⊥PC。

在Rt中，。

4、（12分）一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.

（1）求证：

平面ABD⊥平面ACD；

（2）求二面角A—BD—C的大小.

解析：

（1）证明：

取BC中点E，连结

AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCD，

∴AE⊥平面BCD，

∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD.

又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，

∵AB平面ABD.∴平面ABD⊥平面ACD.

（2）解：

∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于

G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，

∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角

∵∠EBG=30°，BE=m，∴EG=m

又AE=m，∴tanAGE==2，∴∠AGE=arctan2.

即二面角A—BD—C的大小为arctan2.