导数公式的证明最全版Word文档下载推荐.docx

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f（x）=xAn

Inf（x）二nlnx（Inf（x））'

=（nlnx）'

f（x）/f（x）二n/xf（x）二n/x*f（x）f（x）二n/x*xAnf（x）二nxA（n-1）

（2）f（x）=sinx

=lim（sin（x+△x）-sinx）/△x

=lim（sinxcos△x+cosxsin△x-sinx）/△x

=lim（sinx+cosxsin△x-sinx）/△x

=limcosxsin△x/△x

=cosx

（3）f（x）二cosxf（x）=lim（cos（x+△x）-cosx）/△x=lim（cosxcos△x-sinxsin△x-cosx）/△x=lim（cosx-sinxsin△x-cos）/△x

=lim-sinxsin△x/△x

=-sinx

（4）f（x）=aAx

证法一：

f（x）=lim（aA（x+△x）-aAx）/△x

=limaAx*（aA△x-1）/△x

（设aA^x-1=m,贝卩△x=logaA（m+1））=limaAx*m/logaA（m+1）

=limaAx*m/[ln（m+1）/lna]=limaAx*lna*m/ln（m+1）

=limaAx*Ina/[（1/m）*ln（m+1）]

=limaAx*lna/ln[（m+1）A（1/m）]

=limaAx*Ina/lne

=aAx*lna

f（x）=aAx

Inf（x）=xIna

[lnf（x）]'

=[xlna]'

f（x）/f（x）=lna

f（x）=f（x）Inaf（x）=aAxIna

若a=e,原函数f（x）=eAx

则f（x）二eAx*Ine=eAx

（5）f（x）=logaAx

=lim（IogaA（x+△x）-IogaAx）/△x

=limIogaA[（x+△x）/x]/△x

=limIogaA（1+△x/x）/△x

=limIn（1+△x/x）/（lna*△x）

=limx*ln（1+△x/x）/（x*Ina*△x）

=lim（x/△x）*ln（1+△x/x）/（x*lna）

=limIn[（1+△x/x）A（x/△x）]/（x*Ina）

=limIne/（x*Ina）=1/（x*lna）

若a=e，原函数f（x）=loge^x=lnx

则f（x）=1/（x*lne）=1/x

（6）f（x）=tanx

=lim（tan（x+

△x）-tanx）/△x

=lim（sin（x+

△x）/cos（x+△x）-sinx/cosx）/△x

△x）cosx-sinxcos（x+△x）/（△xcosxcos（x+△x））

=lim（sinxcos

△xcosx+sin△xcosxcosx-sinxcosxcos△

x+sinxsinxsin

△x）/（△xcosxcos（x+△x））

=limsin△x/（△xcosxcos（x+△x））

=1/（cosx）八2二secx/cosx=（secx）八2=1+（tanx）八2

（7）f（x）=cotx

f（x）=lim（cot（x+△x）-cotx）/△x

=lim（cos（x+△x）sinx-cosxsin（x+△x））/（△xsinxsin（x+△x））

=lim（cosxcos△xsinx-sinxsinxsin△x-cosxsinxcos△x-cosxsin

△xcosx）/（△xsinxsin（x+△x））

=lim-sin△x/（△xsinxsin（x+△x））

=-1/（sinx）八2二-cscx/sinx=-（secx）八2=-1-（cotx）八2

（8）f（x）=secx

=lim（sec（x+△x）-secx）/△x

=lim（1/cos（x+△x）-1/cosx）/△x

=lim（cosx-cos（x+△x）/（△xcosxcos△x）

=lim（cosx-cosxcos△x+sinxsin△x）/（△xcosxcos（x+△x））

=limsinxsin△x/（△xcosxcos（x+△x））=sinx/（cosx）八2二tanx*secx

（9）f（x）二cscxf（x）

=lim（csc（x+△x）-cscx）/△x

=lim（1/sin（x+△x）-1/sinx）/△x

=lim（sinx-sin（x+

△x））/（△xsinxsin（x+△x））

=lim（sinx-sinxcos

△x-sin△xcosx）/（△xsinxsin（x+△x））

=lim-sin△xcosx/（△xsinxsin（x+△x））

=-cosx/（sinx）八2二-cotx*cscx

（10）f（x）=xAx

Inf（x）=xInx

（Inf（x））'

=（xlnx）'

f（x）/f（x）=lnx+1f（x）=（lnx+1）*f（x）f（x）=（lnx+1）*xAx

（12）h（x）=f（x）g（x）h'

（x）

=lim（f（x+△x）g（x+△x）-f（x）g（x））/△x

=lim[（f（x+△x）-f（x）+f（x））*g（x+△x）+（g（x+△x）-g（x）-g（x+△

x））*f（x）]/△x

=lim[（f（x+△x）-f（x））*g（x+△x）+（g（x+△

x）-g（x））*f（x）+f（x）*g（x+△x）-f（x）*g（x+△x）]/△x

=lim（f（x+△x）-f（x））*g（x+△x）/△x+（g（x+△x）-g（x））*f（x）/△x

=f（x）g（x）+f（x）g'

（13）h（x）=f（x）/g（x）h'

=lim（f（x+△x）/g（x+△x）-f（x）g（x））/△x

=lim（f（x+△x）g（x）-f（x）g（x+△x））/（△xg（x）g（x+△x））

=lim[（f（x+△x）-f（x）+f（x））*g（x）-（g（x+

x）-g（x）+g（x））*f（x）]/（

△xg（x）g（x+△x））

=lim[（f（x+△x）-f（x））*g（x）-（g（x+x）-g（x））*f（x）+f（x）g（x）-f（x）g（x）]/（

=lim（f（x+△x）-f（x））*g（x）/（△xg（x）g（x+△x））-（g（x+△

x）-g（x））*f（x）/（△xg（x）g（x+△x））

二f（x）g（x）/（g（x）*g（x））-f（x）g'

（x）/（g（x）*g（x））

=[f'

（x）g（x）-f（x）g'

（x）]/（g（x）*g（x））x

（14）h（x）=f（g（x））

h'

=lim[f（g（x+△x））-f（g（x））]/△x

=lim[f（g（x+△x）-g（x）+g（x））-f（g（x））]/△x

（另g（x）=u,g（x+△x）-g（x）=△u）

=lim（f（u+△u）-f（u））/△x

=lim（f（u+△u）-f（u））*△u/（△x*△u）

=limf（u）*△u/△x

=limf（u）*（g（x+△x）-g（x））/△x

二f（u）*g'

（x）=f（g（x））g'

（反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1,因为函数与反函

数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1）

（15）y=f（x）二arcsinx

贝卩siny=x

（siny）'

=cosy

所以

（arcsinx）'

=1/（siny）'

=1/cosy

=1/V1-（siny）八2

（siny=x）

=1/V1-xA2

即f（x）=1/V1-xA2

（16）y=f（x）=arctanx

贝卩tany=x

（tany）'

=1+（tanyF2=1+xA2

（arctanx）'

=1/1+xT

即f（x）=1/1+xA2

总结一下

（xAn）'

二nxA（n-1）

（sinx）'

二cosx

（cosx）'

=-sinx

（aAx）'

=aAxIna

（eAx）'

=eAx

（logaAx）'

=1/（x1na）

（Inx）'

=1/x

（tanx）'

=（secx）A2=1+（tanx）A2

（cotx）'

=-（cscx）A2=-1-（cotx）A2（secx）'

=tanx*secx

（cscx）'

=-cotx*cscx（xAx）'

=（lnx+1）*x^x

（arcsinx）'

=1/V1/2

=1/1+xA2

[f（x）g（x）]'

=f'

（x）g（x）+f（x）g'

[f（x）/g（x）]'

=[f（x）g（x）-f（x）g'

（x）]/（g（x）*g（x））

[f（g（x））]'

=f（g（x））g'