导数公式的证明最全版Word文档下载推荐.docx

1、f（x）=xA nInf（x）二nlnx （In f（x）=（ nlnx） f（x）/f（x）二n/x f（x）二n /x*f（x） f（x）二n /x*xA n f（x）二n xA（ n-1）（2）f（x）=sinx=lim （si n（x+ x）-si nx）/ x=lim （sinxcos x+cosxsin x-sinx）/ x=lim （sin x+cosxs in x-si nx）/ x=lim cosxsin x/ x=cosx（3）f（x）二cosx f（x） =lim （cos（x+ x）-cosx）/ x =lim （cosxcos x-sinxsin x-cosx）/ x

2、 =lim （cosx-sinxsin x-cos）/ x=lim -sinxsin x/ x=-s inx（4）f（x）=aAx证法一：f（x） =lim （aA（x+ x）-aAx）/ x=lim aAx*（aA x-1）/ x（设 aA x-1= m,贝卩 x=logaA（m+1） =lim aAx*m/logaA（m+1）=lim aAx*m/l n（m+1）/l na =lim aAx*l na*m/ln（ m+1）=lim aAx* In a/（1/m）*l n（ m+1）=lim aAx* lna/ln （m+1）A（1/m）=lim aAx* In a/l ne=aAx*l n

3、af（x）=aAxIn f（x）=x Inaln f（x） =xl naf （x）/f（x）=lnaf （x）=f（x）Ina f （x）=aAxIna若a=e,原函数f（x）=eAx则 f（x）二eAx*Ine=eAx（5）f（x）=logaAx=lim （IogaA（x+ x）-IogaAx）/ x=lim IogaA（x+ x）/x/ x=lim IogaA（1+ x/x）/ x=lim In （1+ x/x）/（l na* x）=lim x*l n（1+ x/x）/（x* In a* x）=lim （x/ x）*l n（1+ x/x）/（x*l na）=lim In （1+ x/x）A

4、（x/ x）/（x* Ina）=lim In e/（x* Ina） =1/（x*l na）若 a=e，原函数 f（x）=logex=lnx则 f（x）=1/（x*lne）=1/x（6）f（x）=tanx=lim （ta n（x+ x）-ta nx）/ x=lim （si n（x+ x）/cos（x+ x）-si nx/cosx）/ x x）cosx-sinxcos（x+ x）/（ xcosxcos（x+ x）=lim （sin xcos xcosx+sin xcosxcosx-sinxcosxcos x+s inxsinxsin x）/（ xcosxcos（x+ x）=lim sin x/（

5、xcosxcos（x+ x）=1/（cosx）八2二secx/cosx=（secx）八2=1+（ta nx）八2（7）f（x）=cotxf（x） =lim （cot（x+ x）-cotx）/ x=lim （cos（x+ x）s in x-cosxs in（x+ x）/（ xsinxsin（x+ x）=lim （cosxcos xsinx-sinxsinxsin x-cosxsinxcos x-cosxsin xcosx）/（ xsinxsin（x+ x）=lim -sin x/（ xsinxsin（x+ x）=-1/（si nx）八2二-cscx/si nx=-（secx）八2=-1-（cot

6、x）八2（8）f（x）=secx=lim （sec（x+ x）-secx）/ x=lim （1/cos（x+ x）-1/cosx）/ x=lim （cosx-cos（x+ x）/（ xcosxcos x）=lim （cosx-cosxcos x+sinxsin x）/（ xcosxcos（x+ x）=lim sinxsin x/（ xcosxcos（x+ x） =si nx/（cosx）八2二ta nx*secx（9）f（x）二cscx f（x）=lim （csc（x+ x）-cscx）/ x=lim （1/si n（x+ x）-1/si nx）/ x=lim （si nx-s in （x+

7、x）/（ xsinxsin（x+ x）=lim （sin x-s in xcos x-sin xcosx）/（ xsinxsin（x+ x）=lim -sin xcosx/（ xsinxsin（x+ x）=-cosx/（si nx）八2二-cotx*cscx（10）f（x）=xAxIn f（x）=x Inx（In f（x）=（xl nx） f（x）/f（x）=l nx+1 f（x）=（l nx+1）*f（x） f（x）=（l nx+1）*xAx（12）h（x）=f（x）g（x） h（x）=lim （f（x+ x）g（x+ x）-f（x）g（x）/ x=lim （f（x+ x）-f（x）+f（x

8、）*g（x+ x）+（g（x+ x）-g（x）-g（x+ x）*f（x）/ x=lim （f（x+ x）-f（x）*g（x+ x）+（g（x+ x）-g（x）*f（x）+f（x）*g（x+ x）-f（x）*g（x+ x）/ x=lim （f（x+ x）-f（x）*g（x+ x）/ x+（g（x+ x）-g（x）*f（x）/ x=f（x）g（x）+f（x）g（13）h（x）=f（x）/g（x） h=lim （f（x+ x）/g（x+ x）-f（x）g（x）/ x=lim （f（x+ x）g（x）-f（x）g（x+ x）/（ xg（x）g（x+ x）=lim （f（x+ x）-f（x）+f（x）*

9、g（x）-（g（x+x）-g（x）+g（x）*f（x）/（ xg（x）g（x+ x）=lim （f（x+ x）-f（x）*g（x）-（g（x+ x）-g（x）*f（x）+f（x）g（x）-f（x）g（x）/（=lim （f（x+ x）-f（x）*g（x）/（ xg（x）g（x+ x）-（g（x+ x）-g（x）*f（x）/（ xg（x）g（x+ x）二f（x）g（x）/（g（x）*g（x）-f（x）g（x）/（g（x）*g（x）=f（x）g（x）-f（x）g（x）/（g（x）*g（x）x（14）h（x）=f（g（x）h=lim f（g（x+ x）-f（g（x）/ x=lim f（g（x+ x）

10、-g（x）+g（x）-f（g（x）/ x（另 g（x）=u , g（x+ x）-g（x）= u）=lim （f（u+ u）-f（u）/ x=lim （f（u+ u）-f（u）* u/（ x* u）=lim f（u）* u/ x=lim f（u）*（g（x+ x）-g（x）/ x二f（u）*g（x）=f（g（x）g（反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为 1,因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1）（15）y=f（x）二arcsinx贝卩siny=x（siny ）=cosy所以（arcsi nx）=1/（si ny）=1/cosy=1/V 1-（si ny

11、 ）八2（siny=x）=1/V 1-xA2即 f（x）=1/ V 1-xA2（16）y=f（x）=arcta nx贝卩tany=x（tan y）=1+（ta nyF2=1+xA2（arcta nx）=1/1+xT即 f（x）= 1/1+xA2总结一下（xAn）二nxA（n-1）（sinx ）二cosx（cosx） =-sinx（aAx） =aAxIna（eAx） =eAx（logaAx ） =1/（x1 na）（I nx ） =1/x（ta nx）=（secx）A2=1+（ta nx）A2（cotx）=-（cscx）A2=-1-（cotx）A2 （secx）=ta nx*secx（cscx）=-cotx*cscx （xAx）=（l nx+1）*xx（arcs in x）=1/ V1/2=1/1+xA2f（x）g（x）=f（x）g（x）+f（x）gf（x）/g（x）=f（x）g（x）-f（x）g（x）/（g（x）*g（x）f（g（x）=f（g（x）g