LAB07解线性方程组的基本迭代法实验Word文档下载推荐.docx

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若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。

（2）用编写的SOR迭代法程序，对于

（1）所选取的初始向量

及右端面项向量b进行求解，松驰系数ω取1<

ω<

2的不同值，在

时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。

【实验仪器与软件】

1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；

2．Matlab6.0及以上版本。

实验讲评：

实验成绩：

评阅教师：

200年月日

一、算法描述

1、雅可比迭代法描述如下：

将线性方程组

中的系数矩阵

分为三部分

设

选取M为A的对角元素部分，即选取M=D（对角矩阵），A=D-N

，由

得到解Ax=b的雅可比迭代法

其中

，称J为解Ax=b的雅可比迭代法的迭代矩阵。

2、高斯-塞德尔迭代法描述如下：

选取分裂矩阵M为A的下三角部分，即选取M=D-L（下三角矩阵），A=M-N，于是由

得到解Ax=b的高斯-塞德尔迭代法

，其中

为解Ax=b的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵。

3、逐次超松弛迭代法描述如下：

选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵

为可选择的松弛因子，于是由

可构造一个迭代法，其迭代矩阵为

，从而得到解Ax=b的逐次超松弛迭代法，简称SOR法。

解Ax=b的SOR方法为

二、算法程序

1、编写Jacobi迭代法的M文件如下：

function[x,n]=Jacobi（A,b,x0,r）

formatlong

n=length（A）;

D=diag（diag（A））;

L=（-1）*tril（A,-1）;

U=（-1）*triu（A,1）;

B=inv（D）*（L+U）;

f=inv（D）*b;

x=B*x0+f;

n=1;

whilenorm（x-x0）>

=r

x0=x;

x=B*x0+f;

n=n+1;

end

2、编写Gauss-Seidel迭代法的M文件如下：

function[x,n]=GaussSeidel（A,b,x0,r）

B=inv（D-L）*U;

f=inv（D-L）*b;

3、编写SOR迭代法的M文件如下：

function[x,n]=SOR（A,b,x0,w,r）

Lw=inv（D-w*L）*（（1-w）*D+w*U）;

f=w*inv（D-w*L）*b;

x=Lw*x0+f;

x=Lw*x0+f;

三、数值实验

矩阵A的程序表示如下：

functionA=lucius（）

A=[3-1/2-1/400000000000000000;

-1/23-1/2-1/40000000000000000;

-1/4-1/23-1/2-1/4000000000000000;

0-1/4-1/23-1/2-1/400000000000000;

00-1/4-1/23-1/2-1/40000000000000;

000-1/4-1/23-1/2-1/4000000000000;

0000-1/4-1/23-1/2-1/400000000000;

00000-1/4-1/23-1/2-1/40000000000;

000000-1/4-1/23-1/2-1/4000000000;

0000000-1/4-1/23-1/2-1/400000000;

00000000-1/4-1/23-1/2-1/40000000;

000000000-1/4-1/23-1/2-1/4000000;

0000000000-1/4-1/23-1/2-1/400000;

00000000000-1/4-1/23-1/2-1/40000;

000000000000-1/4-1/23-1/2-1/4000;

0000000000000-1/4-1/23-1/2-1/400;

00000000000000-1/4-1/23-1/2-1/40;

000000000000000-1/4-1/23-1/2-1/4;

0000000000000000-1/4-1/23-1/2;

00000000000000000-1/4-1/23];

1、用Jacobi迭代法程序求解：

clearall;

clc;

r=1.0e-6;

x0=[00000000000000000000]'

;

A=lucius（）;

b=[71711151171711317121]'

[x,n]=Jacobi（A,b,x0,r）

改变数值：

x0=[51511151151155555555]'

b=[87177947731787275177]'

2、用Gauss-Seidel迭代法程序求解：

x0=[55555555555555555555]'

b=[18798406394134181314]'

[x,n]=GaussSeidel（A,b,x0,r）

b=[13314408710085258213]'

根据以上结果可知得到的序列是收敛的

SOR迭代法：

w=1.2;

r=1.0e-5;

x0=[77777777777777777777]'

b=[20120615131426971523]'

[x,n]=SOR（A,b,x0,w,r）

clearall;

x0=[85125724832458732653]'

b=[52212519920104001513]'

四、总结

通过以上实验了解了三种迭代法的算法结构，掌握了三种基本迭代法的使用，通过对结果的分析了解了每一种迭代法的特点，并且可以得出结论：

相对于雅可比迭代法，高斯-塞得尔迭代法加快了收敛速度，而SOR迭代法的收敛速度与松弛因子ω有关。