第5章高等数学计算的MATLAB实现讲稿Word文档下载推荐.docx
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返回自变量为v的符号函数f的反函数。
求得的反函数g是一个满足g（f（v））=v的符号函数。
当f包含不止一个符号变量时，往往使用这种求反函数的调用格式。
例5－2 求
的反函数。
f=sym（'
t/sin（x）'
）;
g=finverse（f,'
x'
）%求反函数
h=finverse（f,'
t'
g=
asin（t/x）
h=
t*sin（x）
5.1.2极限
在MATLAB中，符号极限由函数limit来实现。
Limit函数的调用格式如下：
●limit（F,x,a）：
返回符号表达式F当
时的极限。
●limit（F,a）：
返回符号表达式F由findsym（F）返回的独立变量趋向于a时的极限。
●limit（F）：
返回符号表达式F由findsym（F）返回的独立变量在a=0处的极限值。
●limit（F,x,a,'
right'
）或limit（F,x,a,'
left'
）：
求取单侧极限，参数中'
，'
表明取极限的方向。
例5－3 求
symsx
f=sqrt（x^2+x+1）-sqrt（x^2-x+1）;
a=limit（f,x,inf,'
）%求极限
b=limit（f,x,-inf,'
a=
1
b=
-1
5.2导数
5.2.1 求函数的导数
在MATLAB中，微分和求导都可以由函数diff实现。
diff函数可同时处理数值和符号两种情况下的求导和微分。
该函数的调用格式如下所示。
●diff（F）：
对findsym函数返回独立变量求微分，F为符号表达式。
●diff（F,'
a'
对a变量求微分，F为符号表达式。
●diff（F,n）：
对findsym函数返回的独立变量求n次微分，F为符号表达式。
n）或diff（F,n,'
对变量a求n次微分，F为符号表达式。
例5－4 求
的二阶导数。
f=（x-1）^5/（x+1）;
df=diff（f,1）;
%求导数
d2f=diff（f,2）;
df=simplify（df）%化简
d2f=simplify（d2f）
df=
2*（x-1）^4*（2*x+3）/（x+1）^2
d2f=
4*（x-1）^3*（3*x^2+9*x+8）/（x+1）^3
5.2.2求隐函数的导数
例5－5 求隐函数
所确定的导数
%求隐函数的导数
x-y+1/2*sin（y）'
fx=diff（f,'
fy=diff（f,'
y'
dv=-fx/fy;
simplify（dv）%化简
ans=
-2/（-2+cos（y））
5.2.3 求参数方程确定的函数的导数
例5－6 求椭圆的参数方程
%参数方程确定的函数的导数
fx=sym（'
a*cos（t）'
fy=sym（'
b*sin（t）'
dxt=diff（fx,'
dyt=diff（fy,'
dv=dyt/dxt;
-b*cos（t）/a/sin（t）
5.3极限和导数的应用
极限可用于计算函数曲线的渐近线，导数可用于求函数的极值和拐点，判断函数的单调性等。
下面结合一个具体的例子进行介绍。
例5－7 作函数
的图形。
首先创建函数，程序为：
num=3*x^2+6*x-1;
denom=x^2+x-3;
f=num/denom
f=
（3*x^2+6*x-1）/（x^2+x-3）
5.3.1渐近线
求函数图形的水平渐近线，需要求x趋于无穷时f的极限，即
limit（f,inf）
limit（f,-inf）
求f的垂直渐近线，使分母等于0，用下面的命令进行求解。
roots=solve（denom）%返回方程
的解。
综合程序：
f=num/denom;
a=limit（f,inf）;
b=double（a）;
roots=solve（denom）;
ezplot（f）%符号函数作图命令。
holdon%在原有的图形上面叠加图形。
plot（[-2*pi2*pi],[bb],'
g'
）%绘水平渐近线
plot（double（roots
（1））*[11],[-510],'
r'
）%绘垂直渐近线
plot（double（roots
（2））*[11],[-510],'
title（'
水平渐近线和垂直渐近线'
）
holdoff%取消图形叠加
运行结果见图5－1。
5.3.2极值
从图5－1可以看出，函数
至少有2个极值点，求解程序：
f1=diff（f）;
%求一阶导数
f1=simplify（f1）;
%化简
crit_pts=solve（f1）;
%求驻点
holdon
plot（double（crit_pts）,double（subs（f,crit_pts））,'
ro'
渐近线和极值'
）%加标题
text（-5,3,'
极小值'
）%加标注
text（-2,2,'
极大值'
holdoff
运行结果见图5－2。
图5－1 水平渐近线和垂直渐近线
图5－2 表示函数的渐近线和极值
5.3.3拐点
求函数的拐点，需要先求函数的2阶导数，后面的处理方法与求极值方法相似。
5.4不定积分和定积分
MATLAB中，用符号工具箱的int函数求函数的不定积分和定积分。
int函数的调用格式如下所示。
●int（F）：
对findsym函数返回独立变量求不定积分，F为符号表达式。
●int（F,v）：
对v变量求不定积分，F为符号表达式。
●int（F,a,b）：
对findsym函数返回独立变量求从a到b的定积分，F为符号表达式。
●int（F,v,a,b）：
对v变量求从a到b的定积分，F为符号表达式。
5.4.1不定积分
例5－8 求不定积分
symsxn
f=x^n;
F=int（f,x）%求不定积分
F=
x^（n+1）/（n+1）
5.4.2定积分
例5－9 求定积分
f=x^9;
A=int（f,x,0,1）%求定积分
A=
1/10
5.4.3 定积分的近似计算
在实际应用中，往往需要对定积分进行近似计算。
常用的近似计算方法有矩形法、梯形法和抛物线法等。
用MATLAB提供的trapz函数可以用梯形法近似求取定积分的值。
例5－10 求定积分
的近似值。
b=2;
x=linspace（0,b,10000）;
y=exp（-x.^2./2）./sqrt（2*pi）;
A=trapz（x,y）%求定积分的近似值
0.4772
5.4.4 定积分的应用
例5－11 计算由两条抛物线
，
所围成的图形的面积。
%求曲线的交点
[x1,y1]=solve（'
y^2=x'
'
y=x^2'
x1=double（x1）;
y1=double（y1）;
n=numel（x1）;
%下面寻找实数解
m=1;
x0=[];
y0=[];
fork=1:
n
ifisreal（x1（k））&
&
isreal（x1（k））
x0（m）=x1（k）;
y0（m）=y1（k）;
m=m+1;
end
end
x0=sort（x0）;
y0=sort（y0）;
%排序
%下面计算定积分
f=sqrt（x）-x^2;
A=int（f,x,x0
（1）,x0
（2））
1/3
例5－12 计算由椭圆
所围成的图形绕
轴旋转而成的旋转体的体积。
symsabx
f=pi*b*b*（a*a-x*x）/a/a;
V=int（f,x,-a,a）
V=
4/3*pi*b^2*a
例5－13 计算由曲线
上相应于
从
到
的一段弧的长度。
symsxab
f=2*x^（3/2）/3;
d=diff（f）;
g=sqrt（1+d^2）;
S=int（g,x,a,b）
S=
2/3*（1+b）^（3/2）-2/3*（1+a）^（3/2）
5.4.5 多重积分
例5－14 求二重积分
symsrxy
A=int（int（sqrt（r*r-x*x）,y,0,sqrt（r*r-x*x））,x,0,r）
2/3*r^3
5.5 空间解析几何与向量代数
空间解析几何将平面图形与方程结合起来，从而可以用代数方法研究几何问题。
5.5.1 空间向量运算
例5－15 已知向量
，计算
a=[21-1];
b=[1-12];
c=a+b
d=a-b
f=dot（a,b）%求数量积
g=cross（a,b）%求向量积
c=
301
d=
12-3
-1
1-5-3
例5－16 已知三点
、
，求
M=[111];
A=[221];
B=[212];
ma=A-M;
mb=B-M;
c=dot（ma,mb）/sqrt（dot（ma,ma））/sqrt（dot（mb,mb））;
amb=acos（c）
amb=
1.0472
例5－17 已知三角形
的顶点是
求三角形
的面积。
A=[123];
B=[345];
C=[247];
ab=B-A;
ac=C-A;
S=sqrt（dot（cross（ab,ac）,cross（ab,ac）））/2
3.7417
5.5.2 曲面及其方程
利用MATLAB提供的绘图函数，可以绘制给定函数的曲面。
相关内容在前面已介绍过，请参见4.2.4小节。
5.6多元函数的极限和求导
对于函数有多个变量的情况，求极限和导数时需要指定函数对哪个变量进行求取。
在MATLAB中仍然使用limit和diff函数求多元函数的极限和导数。
5.6.1求多元函数的极限
例5－18 求极限
symsxy
f=（sin（x+y）-sin（x））/y;
limit（f,y,0）
cos（x）
5.6.2求多元函数的导数
例5－19 求
symsst
f=sin（s*t）;
diff（f,t）
cos（s*t）*s
5.6.3 求二元隐函数的导数
例5－20 设
symsxyz
f=x*x+y*y+z*z-4*z;
fx=diff（f,x）;
fz=diff（f,z）;
zx=simplify（-fx/fz）
zx=
-x/（z-2）
5.7级数
级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具，是高等数学的重要组成部分。
本节主要介绍级数求和和泰勒级数展开。
5.7.1级数求和
可以用symsum函数求级数的和。
该函数的调用格式如下：
●symsum（s）：
求符号表达式s相对于符号变量k的和，k由findsym函数确定，取值从0到k-1。
●symsum（s,v）：
求符号表达式s相对于符号变量v的和，v从0到v-1。
●symsum（s,a,b）和symsum（s,v,a,b）：
指定符号表达式s从v=a累加到v=b。
例5－21 求级数
symsxkn
s1=symsum（n）
s2=symsum（1/k^2,1,inf）
s3=symsum（x^k,k,0,inf）
s1=
1/2*n^2-1/2*n
s2=
1/6*pi^2
s3=
-1/（x-1）
5.7.2泰勒级数展开
用taylor函数进行泰勒级数展开。
●taylor（f,n,v）：
返回f的n-1阶马克劳林多项式近似。
f为表示函数的符号表达式，v指定表达式中的独立变量。
v可以是字符串或符号变量。
●taylor（f,n,v,a）：
返回f关于a的n-1阶泰勒级数近似。
变量a可以是数值、符号或表示数值值或未知值的字符串。
n，v和a的顺序没有先后之分。
taylor函数根据变量的位置和类型确定它们的用途。
还可以忽略n,v,a等变量中的任何一个。
如果不确定v，taylor函数用findsym函数确定函数的独立变量。
n的默认值为6。
泰勒级数：
例5－22 求函数
的泰勒级数展开，取前9项。
f=1/（5+4*cos（x））;
t=taylor（f,9）
t=
1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6+443/13226976*x^86
5.8微分方程
微分方程可以通过函数dsolve求解，该函数的调用格式为：
●r=dsolve（'
eq1,eq2,…'
cond1,cond2,…'
v'
eq1'
'
eq2'
…,'
cond1'
cond2'
输入参数eq1,eq2,…表示微分方程，v为独立变量，cond1,cond2,…表示边界条件和/或初始条件。
默认的独立变量是t，用户也可以使用别的变量来代替t，只要把别的变量放在输入变量的最后即可。
字母D代表微分算子，即d/dt，字母D后面所跟的数字代表几阶微分，如D2代表
跟在微分算子后面的字母是被微分的变量，如D3y代表
注意，在符号变量中不能再出现字母D。
初始/边界条件可用这样的形式给出：
y（a）=b或Dy（a）=b。
此处的y是被微分变量，a和b是常量。
如果初始条件的个数少于被微分变量的个数，则解中会出现C1，C2这样的不定常数。
函数的输出结果可能存在如下3种情况：
⑴一个方程和一个输出，则返回符号矢量中非线性方程的联立解。
⑵几个方程与相同个数的输出，返回的结果按字母顺序排序，并且分配给输出参数。
⑶几个方程和一个输出，则返回解的结构。
如果函数找不到显示解，它会试图计算隐式解。
返回隐式解时，会给出警告信息并返回一个空的sym。
此时可以用MATLAB函数ode23或ode45求数值解。
在一些有非线性方程的情况下，输出结果可能与更低阶的微分方程或积分等价。
例5－23 求解微分方程
y=dsolve（'
Dy=1+y^2'
）%求解微分方程
y=
tan（t+C1）
例5－24 求解微分方程
D2y=cos（2*x）-y'
y（0）=1'
Dy（0）=0'
%求解微分方程
y=simplify（y）%化简y的形式。
4/3*cos（x）-2/3*cos（x）^2+1/3
习题五
1、完成实验指导书中的实验五的上半部分。
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