2乘法公式Word格式文档下载.docx

2乘法公式Word格式文档下载.docx

《2乘法公式Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2乘法公式Word格式文档下载.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1002=（1000-2）（1000+2）

=10002+1000×

2+（-2）×

1000+（-2）×

2

=10002-22

=1000000-4

=1999996．

所以2001×

1999=20002-12

998×

1002=10002-22

它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？

我们继续进行探索．

二．导入新课

计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

（3）（2x+1）（2x-1）

（4）（x+5y）（x-5y）

观察上述算式，你发现什么规律？

运算出结果后，你又发现什么规律？

（教师引导学生讨论）

可以发现：

1.上面四个算式中每个因式都是两项．

2.都是两个数的和与差的积．例如算式

（1）是x与1这两个数的和与差的积；

算式

（2）是m与2这两个数的和与差的积；

算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；

算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．

请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．

解：

（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×

2=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·

x-x·

5y-（5y）2=x2-（5y）2

从刚才的运算我发现：

也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．

再举例验证：

（1）51×

49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．

即（50+1）（50-1）=502-12．

（2）（-a+b）（-a-b）=（-a）·

（-a）+（-a）·

（-b）+b·

（-a）+b·

（-b）

=（-a）2-b2=a2-b2

这同样可以验证：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

这个规律用符号表示为：

（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．

文字语言：

符号语言：

（a+b）（a-b）=a2-b2

注意：

平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计

例1：

运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）；

（2）（b+2a）（2a-b）；

（3）（-x+2y）（-x-2y）.

分析：

运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．

（1）中可以把3x看作a，2看作b．

即：

（3x+2）（3x-2）=（3x）2—22

（a+b）（a-b）=a2—b2

同样的方法可以完成

（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如

（2）应先作如下转化：

（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．

（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）

解：

（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

例2：

计算：

（1）102×

98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

（1）102×

98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

=y2－22－（y2+5y－y－5）

=y2－4－y2－4y+5

=-4y+1．

利用平方差公式应注意应注意以下几点：

（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．

（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．

（4）运算的最后结果应该是最简才行．

三．随堂练习

1、课本P153练习。

2、计算：

（1）（a+b）（-b+a）

（2）（-a-b）（a-b）

（3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2）

（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

四．课堂小结

通过本节学习我们掌握了如下知识．

（1）平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）公式的结构特征

①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；

②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；

③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．

如：

（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．

五．课后作业

课本P156习题15．2─1题

15．2．2．完全平方公式

（一）

1．完全平方公式的推导及其应用．

2．完全平方公式的几何解释．

二过程与方法

1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．

2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

三情感、态度与价值观

在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．

完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用

理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．

请同学们探究下列问题：

一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…

（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？

多多少？

为什么？

（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．

（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．

（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．

（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法即（a+b）2-（a2+b2）.我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方即（a+b）2，这个新问题.这正是我们这节课要研究的问题．

二．导入新课

1.能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？

我们知道a2=a·

a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．

计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；

（2）（m+2）2=_______；

（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；

（4）（m-2）2=________；

（5）（a+b）2=________；

（6）（a-b）2=________．

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1

（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·

2+2×

2=m2+4m+4

（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·

（-1）+（-1）·

p+（-1）×

（-1）=p2-2p+1

（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）

=m2+m·

（-2）+（-2）·

m+（-2）×

（-2）

=m2-4m+4

（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

发现：

（1）结果中的2p=2·

p·

1，

（2）结果中4m=2·

m·

2，（3）、（4）与

（1）、

（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．

用语言叙述：

两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．它是一个完全平方的形式，所以叫完全平方公式.

于是我们得到完全平方公式：

文字叙述：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

符号叙述：

（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

2.其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．

你能根据图

（1）和图

（2）中的面积说明完全平方公式吗？

b

a

图

（1）

图

（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；

另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；

另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；

大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：

（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．

如图

（2），可以看出大正方形的边长是a，它的面积是a2；

矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·

b；

正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；

正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：

（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．

数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．

现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．（a+b）2-（a2+b2）=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．

应用举例：

例1应用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

（2）（y-

）2

（3）（-a-b）2（4）（b-a）2

分析：

利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；

第二步准确代入公式；

第三步化简．

（1）（4m+n）2=（4m）2+2·

4m·

n+n2=16m2+8mn+n2

（2）（y-

）2=y2-2·

y·

+（

）2=y2-y+

（3）（-a-b）2=（-a）2-2·

（-a）·

b+b2=a2+2ab+b2

（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2

从（3）（4）的计算可以发现：

（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2

例2运用完全平方公式计算：

（1）1022

（2）992

（1）1022=（100+2）2=1002+2×

100×

2+22

=10000+400+4

=10404．

（2）992=（100-1）2

=1002-2×

1+12

=10000-200+1=9801．

请同学们总结完全平方公式的结构特征．

得到：

公式的左边是一个二项式的完全平方；

右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：

它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．

课本P155练习1、2．

四．课堂小结

通过本节课的学习，你有收获和体会？

五．课后作业课本P156习题15．3─2、4、7题．

15．3．2完全平方公式

（二）

1．添括号法则．

2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．

1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．

2．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．

鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．

理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用

在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．

请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．

（1）4+（5+2）

（2）4-（5+2）

（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）

（1）4+（5+2）=4+5+2=11

（2）4-（5+2）=4-5-2=-3

或：

4-（5+2）=4-7=-3

（3）a+（b+c）=a+b+c

（4）a-（b-c）=a-b+c

去括号法则：

去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；

如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．

也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．

讲解：

∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；

4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：

（1）4+5+2=4+（5+2）

（2）4-5-2=4-（5+2）

左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？

（学生分组讨论，最后总结）

得出结论：

添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

也是：

遇“加”不变，遇“减”都变．

请同学们利用添括号法则完成下列练习：

1．在等号右边的括号内填上适当的项：

（1）a+b-c=a+（）

（2）a-b+c=a-（）

（3）a-b-c=a-（）

（4）a+b+c=a-（）

2．判断下列运算是否正确．

（1）2a-b-

=2a-（b-

）

（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）

（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

（学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得．教师遁视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学）

总结：

添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．

有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵．请同学们分组讨论，完成下列计算．

例5：

运用乘法公式计算

（1）（x+2y-3）（x-2y+3）；

（2）（a+b+c）2；

（3）（x+3）2－x2；

（4）（x+5）2－（x－2）（x－3）.

（让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的）

（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，以便利用乘法公式，达到简化运算的目的．

（2）是一个完全平方的形式，只须将a+b+c中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算．

（3）是完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算．

（4）完全平方公式计算与多项式乘法计算，但要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再用去括号法则进行计算，这样就可以避免符号上出现错误．

课本P182练习2．

通过本节课的学习，你有何收获和体会？

在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现．

课本P156习题15．2─5、6、8、9题．