人教版九年级数学上册云南地区习题训练241 圆的文档格式.docx

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9．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：

CE＝BF.

∵OB，OC是⊙O的半径，

∴OB＝OC.

又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，

∴△EOB≌△FOC（ASA）．

∴OE＝OF.

∴OE＋OC＝OF＋OB，即CE＝BF.

02　　中档题

10．下面3个命题：

①半径相等的两个圆是等圆；

②长度相等的弧是等弧；

③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．

其中真命题的个数为（B）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

11．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°

，∠BOD＝100°

，则∠C的度数为（C）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

12．点P到圆上各点的最大距离为10cm，最小距离为8cm，则此圆的半径为（C）

A．9cmB．1cm

C．9cm或1cmD．无法确定

13．已知A，B是半径为6cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0<

AB≤12cm.

14．已知，如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：

AD＝BC.

∵OA，OB为圆的半径，

∴OA＝OB.

∵C，D分别为OA，OB的中点，

∴OC＝OD.

又∵∠AOD＝∠BOC，

∴△AOD≌△BOC（SAS）．

∴AD＝BC.

15．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．

解：

OE＝OF.

∵OA，OB是⊙O的半径，

∴∠OAB＝∠OBA.

又∵AE＝BF，

∴△OAE≌△OBF（SAS）．

16．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°

，求∠AOC的度数．

连接OD.

∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，

∴OC＝OD＝DE.

∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.

又∠ODC＝∠DOE＋∠E，

∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.

∵∠E＝18°

，∴∠OCE＝36°

∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°

＋18°

＝54°

03　　综合题

17．如图，AB、CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，点P、Q为弧CB上的任意两点，作PE⊥CD，PF⊥AB，QM⊥CD，QN⊥AB，则线段EF、MN的大小关系为：

EF＝MN.（填“＜”“＞”或“＝”）

24．1.2　垂直于弦的直径

知识点1　认识垂径定理

1．（佛山中考）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（C）

A．3B．4C.D.

2．（黔东南中考）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°

，若CD＝6cm，则AB的长为（B）

A．4cmB．3cm

C．2cmD．2cm

3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（D）

A．2B．4C．6D．8

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则OE＝4cm.

5．（黔西南中考）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．

知识点2　垂径定理的推论

6．下列说法正确的是（D）

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的弦平分这条直径

D．弦的垂直平分线经过圆心

7．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（D）

A．8B．2C．10D．5

8．（毕节中考）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（B）

A．6B．5C．4D．3

知识点3　垂径定理的应用

9．（曲靖月考）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB＝5，截面圆圆心为O，当水面宽AB＝8时，水位高为（B）

A．1

B．2

C．3

D．4

10．（绍兴中考）绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（D）

A．4mB．5mC．6mD．8m

11．（茂名中考）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（即CD）为0.5米．

12．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°

，则弦AB的长为4．

13．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为5_cm.

14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为4．

15．（黔东南中考）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB＝BC＝12，则OC＝4．

16．（邵阳中考）如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r.

由题意知OA＝OE＝r.

∵EF＝1，∴OF＝r－1.

∵OE⊥AB，

∴AF＝AB＝×

3＝1.5.

在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，

即（r－1）2＋1.52＝r2.解得r＝.

即圆O的半径为米．

17．（佛山中考）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.

又⊙O的直径为10cm，连接OA，则OA＝5cm.

由勾股定理，得

OD＝＝3cm.

∵垂线段最短，半径最长，

∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.

18．（湖州中考）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．

（1）求证：

AC＝BD；

（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．

（1）证明：

过点O作OE⊥AB于点E.

则CE＝DE，AE＝BE.

∴AE－CE＝BE－DE，

即AC＝BD.

（2）连接OA，OC.

由

（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，

∴CE＝＝＝2.

AE＝＝＝8.

∴AC＝AE－CE＝8－2.

24．1.3　弧、弦、圆心角

知识点1　认识圆心角

1．下面四个图中的角，是圆心角的是（D）

A　　　　　B

C　　　　　D

2．如图所示，图中的圆心角（小于平角的）有（B）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为5cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝60°

4．如图，已知AB为⊙O的直径，点D为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD的度数为60°

知识点2　弧、弦、圆心角之间的关系

5．下列四个命题：

①圆心角是顶点在圆心的角；

②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；

③两条弦相等，它们所对的弧也相等；

④等弧所对的圆心角相等．其中正确命题有（B）

6．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE＝60°

，则∠COE是（C）

A．40°

C．80°

D．120°

7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为（B）

A．AB>

CDB．AB＝CD

C．AB<

CDD．不能确定

8．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有（D）

①＝；

②＝；

③AC＝BD；

④∠BOD＝∠AOC.

9．如图所示，在⊙O中，AC，BC是弦，根据条件填空：

（1）若AC＝BC，则＝，∠AOC＝∠BOC；

（2）若＝，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；

（3）若∠AOC＝∠BOC，则＝，AC＝BC．

10．如图，AB，DE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，且＝，求证：

BE＝CE.

∵∠BOE＝∠AOD，

∴＝.

又∵＝，

∴＝，

∴BE＝CE.

11．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为（D）

①∠DOE＝∠AOB；

③OF＝OC；

④AC＝EF.

12．如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.下列结论：

①＝＝；

②ME＝NF；

③AE＝BF；

④ME＝2AE.

其中正确结论的序号是①②③．

13．如图，已知D，E分别为半径OA，OB的中点，C为的中点．试问CD与CE是否相等？

说明你的理由．

相等．理由如下：

连接OC.

∵D，E分别为⊙O半径OA，OB的中点，

∴OD＝AO，OE＝BO.

∵OA＝OB，∴OD＝OE.

∵C是的中点，

∴∠AOC＝∠BOC.

又∵OC＝OC，

∴△DCO≌△ECO（SAS）．

∴CD＝CE.

14．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°

（1）△AOC是等边三角形吗？

请说明理由；

（2）求证：

OC∥BD.

（1）△AOC是等边三角形．理由：

∵＝，

∴∠AOC＝∠COD＝60°

又∵OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形．

（2）证明：

∵＝，∴OC⊥AD.

∵∠AOC＝∠COD＝60°

，

∴∠BOD＝180°

－（∠AOC＋∠COD）＝60°

∵OD＝OB，

∴△ODB为等边三角形．

∴∠ODB＝60°

∴∠ODB＝∠COD＝60°

∴OC∥BD.

15．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：

＝.

连接AF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC.

∴∠GAE＝∠B，

∠EAF＝∠AFB.

又∵AB＝AF，

∴∠B＝∠AFB.

∴∠GAE＝∠EAF.

24.1.4　圆周角

第1课时　圆周角定理及其推论

知识点1　圆周角定理

1．下列图形中的角，是圆周角的是（B）

2．（铜仁中考）如图所示，点A、B、C在⊙O上，∠A＝64°

，则∠BOC的度数是（C）

A．26°

B．116°

C．128°

D．154°

3．如图，将直角三角板60°

角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB＝30°

．

4．（云南中考）如图，点A、B、C是⊙O上的点，OA＝AB，则∠C的度数为30°

5．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB＝30°

，则这个人工湖的直径为200m.

知识点2　圆周角定理的推论

6．（柳州中考）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B、C的一点，则∠A的度数为（D）

A．60°

B．70°

D．90°

7．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于点E，则∠ABD＝（A）

A．∠ACDB．∠ADB

C．∠AEDD．∠ACB

8．（黔西南中考）如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°

，则∠AEC的度数为（A）

A．65°

B．75°

C．50°

D．55°

9．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°

，则∠BCD等于（B）

A．32°

B．38°

C．52°

D．66°

10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：

DB平分∠ADC.

∵AB＝BC，

∴∠ADB＝∠BDC，

∴DB平分∠ADC.

11．（湛江中考）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°

，则∠D＝（B）

A．25°

B．35°

C．55°

D．70°

12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°

，则∠OBC的度数为（A）

B．50°

D．100°

13．下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（B）

14．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°

，AO∥DC，则∠B的度数为（D）

B．45°

C．50°

15．（贵阳中考）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°

，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝40度．

16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．

△ABC为等边三角形；

（2）求DE的长．

连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

∵点D是BC的中点，

∴AD是BC的垂直平分线．

∴AB＝AC.

又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.

∴△ABC为等边三角形．

（2）连接BE.

∵AB是⊙O直径，

∴∠AEB＝90°

.∴BE⊥AC.

∵△ABC是等边三角形，

∴AE＝EC，即E为AC的中点．

又∵D是BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线．

∴DE＝AB＝×

2＝1.

17．（江西中考）如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；

图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

（1）如图1，点P就是所求作的点．

（2）如图2，CD为AB边上的高．

第2课时　圆内接四边形

知识点　圆内接四边形的性质

1．如图所示，图中∠A＋∠C＝（B）

A．90°

B．180°

C．270°

D．360°

2．（湘潭中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°

，则∠BCD的度数是（D）

B．90°

C．100°

3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°

，则∠DCE的大小是（B）

A．115°

B．105°

D．95°

4．（常德中考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°

，则∠BCD的度数为（D）

B．80°

D．130°

5．如图所示，已知圆心角∠AOB＝100°

，求∠ACD的度数．

在优弧AMB上任取一点N，连接AN，BN，

由圆周角定理得∠N＝∠AOB＝×

100°

＝50°

所以∠ACB＝180°

－∠N＝180°

－50°

＝130°

所以∠ACD＝180°

－∠ACB＝180°

－130°

6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．

根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.

设这四个内角的度数分别为2x°

、x°

、7x°

、8x°

，则

2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.

则2x＝40，7x＝140，8x＝160.

答：

这个四边形各内角的度数分别为40°

、20°

、140°

、160°

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°

，∠ACD＝25°

，∠BAD＝65°

.求证：

（1）AD＝CD；

（2）AB是⊙O的直径．

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D＝180°

－∠B＝130°

∵∠ACD＝25°

∴∠DAC＝180°

－∠D－∠ACD＝180°

－25°

＝25°

∴∠DAC＝∠ACD.

∴AD＝CD.

∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°

＝40°

，∠B＝50°

∴∠ACB＝180°

－∠B－∠BAC＝180°

－40°

＝90°

∴AB是⊙O的直径．

8．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠AOD＝30°

，则∠BCD的度数是105°

9．（南京中考）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°

，则∠B＋∠E＝215°

10．（保山期中）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°

，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是．

解析：

连接AC，∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°

.∴∠ADC＝180°

－∠ABC＝90°

∴AC是直径．∵AD＝3，CD＝2，∴AC＝＝.

11．（南通中考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝60度．

12．如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝20°

，求弦AB所对的圆周角的度数．

∵AO＝BO，

∴∠OBA＝∠OAB＝20°

∴∠AOB＝180°

－20°

＝140°

∴弦AB所对的劣弧的度数是140°

∴弦AB所对的圆周角的度数是140°

÷

2＝70°

∵弦AB所对的优弧的度数为360°

－140°

＝220°

∴弦AB所对的圆周角的度数是220°

2＝110°

综上，可得弦AB所对的圆周角的度数是70°

或110°

13．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，＝.求证：

CD平分∠ACE.

∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，

∴∠BAD＋∠BCD＝180°

又∵∠BCD＋∠DCE＝180°

∴∠DCE＝∠BAD.

∴∠BAD＝∠ACD.

∴∠DCE＝∠ACD.

∴CD平分∠ACE.

14．如图所示，⊙O的直径AC＝2，∠BAD＝75°

，∠ACD＝45°

，则四边形ABCD的周长和面积各为多少？

（结果取准确值）

∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠BCD＝180°

－∠BAD＝180°

－75°

＝105°

∴∠BCA＝105°

－45°

＝60°

又∵AC为⊙O的直径，∴∠B＝∠D＝90°

∴∠BAC＝30°

，∠CAD＝45°

在Rt△ABC中，

BC＝AC＝1，AB＝＝.

在Rt△ACD中，CD＝AD＝AC＝，

∴四边形ABCD的周长为2＋＋1.

面积为×

1×

＋×

×

15．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°

.求⊙C的半径．

∵四边形ABMO内接于圆，

∴∠BAO＋∠BMO＝180°

∵∠BMO＝120°

∴∠BAO＝60°

在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°

∴AB＝8.∵∠AOB＝90°

∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.