规律探究专题Word下载.docx

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特殊到一般到特殊过程

2基本题型:

数式规律、图形规律、数形结合规律等。

多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。

（二）例题分析提炼方法

一数式规律

例1观察下列各式，你会发现什么规律？

15、35、63、99、143、195，…

请你猜想到的规律用只含一个字母的代数式表示出来：

．

分析：

3×

5＝15，5×

7＝35，7×

9＝63，

9×

11＝99，11×

13＝143，……

例2一组按规律排列的式子：

…（ab≠0），其中第7个式子是，第n个式子是（n为正整数）

本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变化：

分子、分母、分式的符号。

学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是难点.

分析:

分子的指数依次排列为：

2、5、8、11·

·

2=2+3×

0

5=2+3×

1

8=2+3×

2

11=2+3×

3·

例3（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（D）

A．38B．52C．66D．74

观察图表可知2*4-0=8,4*6-2=22,6*8-4=44,8*10-6=74……

例4中央电视台“开心辞典”栏目有这么一道题:

观察下列一组数列的排列规律1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1……,那么第2006个数字是（）

A.1B.2C.3D.4

点拨:

认真观察数据可以发现:

这组数的排列规律是1,2,3,4,3,2为一个循环,用2006除以6商为334余数为2，对应数列中的2，故选B。

例5如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为（B）（A）6　（B）3（C）　（D）

1过的路径ebiaofa10________________________________________________________________________________________________

（2010-2）÷

2=1004若输出第2011次呢？

输出数值是几？

例6一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，

…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是_______________.

解法一：

分子是从3开始的连续的自然数的平方；

分子都比分母大4.所以第n个数据是。

解法二：

观察发现分母可以依次看作1*5、2*6、3*7、4*8…故分母的规律是n（n+4）.第n个数据是

例7观察下列各式：

1×

3=12＋2×

1；

2×

4=22＋2×

2；

3×

5=32＋2×

3；

……

请你将猜想到的规律用正整数n表示出来n（n+2）=n2+2_n.

方法总结：

横向熟悉代数式、算式的结构；

纵向观察、对比，研究各式之间的关系，寻求变与不变规律；

按要求写出算式或结果。

例8：

（07年重庆市中考题）将正整数按如图所

示的规律排列下去。

若用有序实数对表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是_______。

1第一排

23第二排

456第三排

78910第四排

·

观察数字排列可知：

每排数字是连续的自然数，每排数字的个数等于排数即（7，2）表示的数即1+2+3+4+5+6+2=23，所以（7，2）表示的实数为23。

反思：

第n排的第m个数对应的是什么实数呢？

由特殊到一般的方法可得：

1+2+3+…+（n－1）+m=，

（n，m）表示的实数为

（三）小结与反思

1规律探究题的解题策略是什么？

由特殊经合情推理到一般再由一般验证特殊的探究过程。

2你获得了哪些解题经验和方法？

注意观察数与式中变与不变的规律；

连续自然数的求和方法:

（首项+末项）乘以项数除以2；

用列表法找规律等。

二、图形规律

例1用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.

认真观察研究图案（形）提

取数式信息仿照数式规律得到结论。

例2拿出一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续折6次后，可以得到几条折痕？

如果对折10次呢？

对折n次呢？

由一般到特殊可得：

当n=6时，折痕条数为26-1；

n=10时，折痕条数为210-1；

对折n次，折痕条数为2n-1。

例3如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；

然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；

再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；

...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（670）.

例4如图，小明作出了边长为1的第1个正

△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积。

然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积。

用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正A3B3C3的面积……，由此可得，第10个正A10B10C10的面积是（）.

例5如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°

菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°

叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）．

例6将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将子向右翻滚90°

，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°

则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（B）

A．6B．5C．3D．2

小结与反思

这节课你有哪些收获？

收获一：

形数结合

收获二：

循环规律题的特点和解法。

收获三：

必要的动手操作，增强直观性。

三、数形结合类规律

例1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三

角形，将其称为三角形数；

类似地，称图2中的1，4，9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角数又是正方形数的是（）

（A）15（B）25（C）55（D）1225

图一的规律是1+2+3+…+n=

图二的规律是m2,故可排除A和C选项。

由n（n+1）=2m2，所以2×

25=50不能分解为两个连续整数的积，故D选项正确。

例2电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点）处，且CP1=CP0；

第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点）处，且AP2=AP1；

第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点）处，且BP3=BP2；

……；

跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（）

A．1B．2C．3D．4

AB=6，AC=7，BC=8．BP0=2

AP1=AP2=1

CP1=CP0=6

BP2=BP3=5

2007÷

6=334余3到P3点

2010÷

6=350到PO点

点P2007与P2010之间的距离为3.选B

POP3=5-2=3

例3如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要127枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．

（数字探究法）图形对应的点的个数是7、19、37、…可以看作7=23-13，19=33-23,37=43-33

（割补法）第n个图形的点数和为

=

例4在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）,延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；

延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为

（）.

例5在反比例函数的

图象上,有一系列点A1、A2、A3…、An、An+1，若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1、A2、A3…、An、An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、Sn，则S1=_____，则S1+S2+S3+…+Sn=________________.（用n的代数式表示）

例6如图2，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，根据这个规律探索可得

第100个点的坐标为________．

例7已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y=的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.

（1）如图所示，若反比例函数解析式为y=，P点坐标为（1，0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标；

M1的坐标是（-1，2）。

（2）请你通过改变P点坐标，对直线M1M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得k﹦1，若点P的坐标为（m，0）时，则b﹦m；

（3）依据

（2）的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M2的坐标．

2用面积法求点阵的个数深受启发。

3数形结合仍很重要。

4基本的计数模型要会应用。

5数形结合类规律探究题链接的知识点较多。