最新《线性代数》习题集含答案文档格式.docx

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n

n1

/、n1

A0;

Bn!

;

C（-1）•n!

D1?

n!

。

答案：

1.D;

2.C;

3.A;

4.B;

5.D。

【3】证明

byazbzaxbxay

xyz

bxaybyazbzax

（a3b3）

zxy

bzaxbxaybyaz

yzx

提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：

（1）134782695；

（2）217986354；

（3）987654321。

（1）（134782695）=10,此排列为偶排列。

（2）（217986354）=18,此排列为偶排列。

（3）（987654321）=36，此排列为偶排列。

【5】计算下列的逆序数：

（1）135L（2n-1）246L（2n）；

（2）246L（2n）135L（2n-1）。

11

（1）—n（n-1）；

（2）—n（n+1）

22

【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

a61a52a43a34a25a16

a15a23a32a44a51a66；

（2）a21a53a16a42a65a34；

（3）

（1）正号；

（2）负号。

【7】

【8】

【9】

根据定义计算下列各行列式:

0；

（2）

a11

a22

a23

a32

a33

a41

a14

；

a44

00

MM

0n1

n0

01

20

MM；

00L010

00L200

MMMMM

n10L000

00L00n

（1）5！

=120；

a11a44a14a41a22a33a23a32

a11a22a33a44

a14a22a33a41

3|1923332a44a14a22a33a41

n（n1）（n1）（n2）

（1）^?

；

（4）

（1）2n!

计算下列行列式：

5

4

9

16

6

8

27

64

c

d

2

d2

3

d3

（1）-136；

（2）48；

（3）12；

（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）

计算下列n阶行列式:

-1

-2

-3

o

n1n

n2

i

1+（

⑵

1；

1）n

2n+1;

（5）

（-1）

【10】计算下列行列式:

n-1）

~2~

n为奇数

n为偶数

n+1n-1

a1

a2

a3

an

b2M

（n阶）；

1）h

nh

a1a2a3

bn

bnM

2h

aM00

n=2时，

行列式等于

（n

（b2-bj（a

2-a1）；

n>

3,行列式为0；

（1）n1bn；

（3）（n1）（2anh）an；

（4）（i）n（n1）ai

i1

【11】计算n+1阶行列式:

011L

1d0L

1082L

MMM

100L

0（ai0；

i=1,2,Ln）

8ng

0；

i1,2丄,n）.

x1x2x3x45

X1

2x2

X3

4x4

2为

3x2

5x4

3为

X2

2x3

11x4

【12】解下列线性方程组:

4x2

6X3

5x5

x

X2-

4x3

6x4

4为

6X5

6%

4x>

X4

4x5

6x>

）X4

X5

（1）x11,x22,x33,x4

【13】计算n阶行列式

a为

ax2

D

aX3

于是D

nax^L—

Xn

Xn1

【14】证明

2cos

Dn

⑵X1X2X3

&

x50.

sinn1

由归纳假设，得

sinn1Dn

【15】计算五阶行列式

Xi

ai

可以得到

【i6】证明

iai

a3a4a5

X3a4a5

a3X4a5

*3*4X

a2a3L

X2a3L

a2X3L

ii

a?

a3L

1i

ia2i

iia3L

ian

Xiai

qa2L

an?

证明：

略

【i7].证明

iiai

dt

aii（t）a2i（t）a3i（t）

%（t）a22（t）a32（t）弘⑴a23（t）a33（t）aii（t）a2i（t）a3i（t）ai2（t）a22（t）a32（t）ai3（t）a23（t）a33（t）

aii（t）

ai2（t）

an（t）

盹⑴

a‘2i（t）

a'

22（t）

a‘23（t）

a2i（t）

a22（t）

a23（t）

a3i（t）

a32（t）

氐⑴

a3i（t）

a‘32（t）

33（t）

答案与提示:

提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。

【18】

.2sin

.计算n阶行列式:

n2cos

n1cos

1jpin

（sin

isin

j）

n（n1）

2^

jpi

ij

n（n-1）

（2）（-1）F

（cos

1jpin

icosj）

n（n1）

【19】

b1

G

C2

b3

X

1b1

b：

1b：

1b2

1b；

an1

1S!

1b

1bn

1Ri1

.利用拉普拉斯定理计算下列行列式:

（ai

0,i

1,2,L,n1）；

O

N

ab

ba

（2）（X2Xi）（X3X2）（X3

X2）;

（3）（bjajqbj）

1jpini

（4）（a2b2）n

【20].证明下列等式:

cosn。

（1）提示：

将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。

（2）提示：

用归纳法证。

【21】

（01403）设行列式D

2222

0-700

53-22

则第四行各元素余子式之和的值为（

【22】

（96503）五阶行列式

1a

-a

1-

■1

1-a

A的行列式A=1

，则行列式

第二章

【1】填空题设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵,

（3A）12A。

【2】假设A=（aj）是一个n阶非零矩阵，且A的元素aj（i，j=l，2，L,n）均为实数。

已

知每一个元素aj都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n,且当n3时A=1或-1。

【3】判断下列结论是否成立：

若成立，则说明理由；

若不成立，则举出反例。

（1）若矩阵A的行列式A=0，则A=0；

（2）若AE=0，则A=E

（3）若A,B为两个n阶矩阵，则|AB|AB；

（4）若矩阵A0，B0，则AB0.

【4】设A,B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？

（1）（AB）2A22ABB2；

（2）（AB）（AB）A2B2；

【5】计算AB和AB-BA。

已知

A

，B

b。

AB

，ABBA

a2b2

2ac

2a

c2

BA

【6】

bac

cbc

c22a

计算下列矩阵乘积:

（1）2

【7】计算

提示:

ax2

用数学归纳法可证

2b

b2a2I

2c

bc

ac

（2）（x,y,

2bxycy2

2dx

并利用所得结果求

2c

2ey

cosnsinn

sinncosn

当时，

故01

cos2

sin2

cos2

A2，

B是n阶对称矩阵,

A是一个n阶对称矩阵,

B2都是对称矩阵;

证明

AB为对称矩阵的充分必要条件是

是一个n阶反对称矩阵，证明

AB=BA

AB-BA是对称矩阵；

（3）AB+BA是反对称矩阵。

【10】求矩阵X,已知:

6；

7

10

20

3；

（2）X

（1）X

021

300

【11】已知矩阵A,求A的逆矩阵A1

021ab"

亠

（1）A,其中ad-bc=1;

（2）A112

cd

111

1357

0123

（3）A

0012

0001

"

宀1db

（1）A1;

（2）A

ca

131138

10127

（3）A1

【12】在下列矩阵方程中求矩阵X:

1235

3459

31

（1）X2

2；

1611

13

12

19

123

（2）224X

210

【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。

【14】假设方阵A满足矩阵方程A22A5E0,证明A可逆，并求A

提示：

由

A2

2A

5E

0得A-（A-2E）Eo

【15】填空题

（1）设矩阵A=

1,

12

则（A3E）（A9E）=

（2）设A是3阶数量矩阵，且A=-27，则A1=

（3）设A是4阶方阵，且A=-2，则A的伴随矩阵A*的

行列式A*=

（1）0

1；

（3）-8

【16】选择题

（1）设A是n阶方阵，且满足等式A2A2E0,贝UA的逆矩阵是

（A）A-E;

（B）E-A;

（C）^（AE）；

（D）^（EA）。

A、（AB）

C、（AB）

（2）设A,B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是

AB；

D（AB）1

（1）nAB

（3）设A,B,C为n阶方阵，且ABC=E则必成立的等式为

A、ACB=E;

B

CBA=E;

CBAC=E;

DBCA=E

（4）设A,B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是

A、Am;

B、（AB）m;

CAB;

D、（AB）

（5）设A,B,A+B,A1+B1均为n阶可逆矩阵，则（A1+B1）等于

A、A1+B1；

BA+B;

CB（A

B）1A;

D、（A

B）

（1）C;

（2）B;

（3）D;

（4）A;

（5）C

112

224

306

030

10

10100

11000

01100。

00110

01011

…0

（2）0

0。

【17】求下列矩阵的秩

2531

17

43

7594

53

132

54

134

2532

48

47

67

35

201155

26

98

23

29486<

428

128452

r

（A）

=2;

（2）r（A）=2;

（3）r

（A）=3;

（4）r（A）=2;

【18】求下列矩阵的标准形

【19】假设方阵A满足方程aA2bAcE

0,其中a，b,c是常数，而且Cm0，试证A是满

秩方阵，并求出其逆矩阵。

【20】选择题

8，且r（A）=2，则t等于

t

A、-6;

B、6;

C

8;

Dt

为任何实数。

（2）设A是3阶方阵，若A2=0,

F列等式必成立的是

A、A=0;

B、r（A）=2;

C、A‘=0；

DA0

（3）设A是mXn矩阵，且m<

n则必有

A、AtA0；

B、AtA0；

C、AtAf0；

D、ArAp0。

答