最新《线性代数》习题集含答案文档格式.docx

1、nn 1/ 、 n 1A0; Bn!; C （-1 ） n! D 1 ?n!。答案：1.D ; 2.C ; 3.A; 4.B ; 5.D。【3】证明by az bz ax bx ayx y zbx ay by az bz ax（a3 b3）z x ybz ax bx ay by azy z x提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1） 134782695；（2）217986354；（3）987654321。（1） （ 134782695）=10,此排列为偶排列。（2） （ 217986354）=18,此排列

2、为偶排列。（3） （ 987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135L （2n-1）246L （2n）；（2）246L （2n）135L （2n-1 ）。1 1（1） n（n-1 ）；（2） n （n+1）2 2【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：a61 a52 a43a34 a25a16a15a23a32a44a51a66 ； （ 2） a21a53a16a42 a65a34 ； （ 3）（1）正号；（2）负号。【7】【8】【9】根据定义计算下列各行列式:0 ； （2）a11a22a23a32a33a41a14；a440 0M M0 n 1n 00 12

3、 0M M；0 0 L 0 1 00 0 L 2 0 0MM M M Mn 1 0 L 0 0 00 0 L 0 0 n（1） 5！ =120；a11a44 a14a41 a22 a33 a23a32a11a22a33a44a14a22a33a413|1923332 a44 a14a22a33a41n（n 1） （n 1）（n 2）（1） ? ； （4） （ 1）2n!计算下列行列式：54916682764cd,2d2,3d3（1） -136 ； （2） 48； （3） 12 ；（b-a ） （c-a ） （d-a） （c-b ） （ d-b ） （d-c ）计算下列n阶行列式:-1-2-3o

4、n 1 nn 2i1 + （1；1）n2n+1 ; （5）（-1）【10】计算下列行列式:n-1）2n为奇数n为偶数n + 1 n-1a1a2a3anb2 M（n 阶）；1）hnha1 a2 a3bnbn M2ha M 0 0n=2 时，行列式等于（n（b2-bj（a2-a 1）； n3,行列式为0；（1）n 1bn ； （3） （n 1）（2a nh）an ；（4） （ i）n（n 1） aii 1【11】计算n+1阶行列式:0 1 1 L1 d 0 L1 0 82 LM M M1 0 0 L0 （ ai 0 ； i=1 , 2, Ln）8ng0；i 1,2丄,n）.x1 x2 x3 x4

5、5X12x2X34x42为3x25x43为X22x311x4【12】解下列线性方程组:4x26X35x5xX2 -4x36x44为6X56%4xX44x56x）X4X5（1） x1 1,x2 2, x3 3, x4【13】计算n阶行列式a 为a x2Da X3于是Dn axL XnXn 1【14】证明2cosDn X1 X2 X3& x5 0.sin n 1由归纳假设，得sin n 1 Dn【15】计算五阶行列式Xiai可以得到【i6】证明i aia3 a4 a5X3 a4 a5a3 X4 a5*3 *4 Xa2 a3 LX2 a3 La2 X3 Li ia? a3 L1 ii a2 ii i

6、 a3 Li anXi aiqa2Lan?证明：略【i7.证明i i aidtaii（t） a2i （t） a3i （t）%（t） a22（t） a32（t） 弘 a23（t） a33（t） a ii（t） a2i（t） a3i（t） a i2（t） a22（t） a32（t） a i3（t） a23（t） a33（t）aii（t）ai2（t）an（t）盹a2i（t）a 22 （t）a23（t）a2i （t）a22（t）a23（t）a3i（t）a32（t）氐a 3i （t）a32（t）33 （t）答案与提示:提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。【18】.2 s

7、in.计算n阶行列式:n 2 cosn 1 cos1 jp in（sini sinj）n（n 1）2jpii jn（ n-1）（2）（-1）F（cos1 jpi ni cos j）n（ n 1）【19】b1GC2b3X1b1b： 1 b：1b21 b；an 11 S !1b1 bn1 Ri 1.利用拉普拉斯定理计算下列行列式:（ai0,i1,2,L ,n 1）；ONa bb a（2） （X2 Xi） （X3 X2）（X3X2） ; （3） （bjaj qbj）1 jp ini（4） （a2 b2）n【20 .证明下列等式:cos n 。（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得

8、结论。（2）提示：用归纳法证。【21】（01403）设行列式D2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 2则第四行各元素余子式之和的值为（【22】（96503）五阶行列式1 a-a1-11-aA的行列式A =1，则行列式第二章【1】填空题设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵,（3A） 1 2A 。【2】假设A=（ aj ）是一个n阶非零矩阵，且 A的元素aj（i，j=l，2，L , n）均为实数。已知每一个元素aj都等于它自己的代数余子式， 求证A的秩等于n,且当n 3时A =1或-1。【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。（1） 若矩阵A的行列式 A =0，则

9、A=0；（2） 若 A E =0，则 A=E（3） 若A, B为两个n阶矩阵，则|A B |A B ；（4） 若矩阵 A 0，B 0，则 AB 0.【4】设A, B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？（1） （A B）2 A2 2AB B2 ；（2） （A B）（A B） A2 B2 ；【5】计算AB和AB-BA。已知A，Bb。AB，AB BAa2 b22ac2 ac2BA【6】b acc bcc2 2a计算下列矩阵乘积:（1） 2【7】计算提示:ax2用数学归纳法可证2bb2 a2 I2 cbcac（2） （ x, y,2bxy cy22dx并利用所得结果求2c2eycos n sin

10、nsinn cos n当 时，故01cos2sin 2cos 2A2，B是n阶对称矩阵,A是一个n阶对称矩阵,B2都是对称矩阵;证明AB为对称矩阵的充分必要条件是是一个n阶反对称矩阵，证明AB=BAAB-BA是对称矩阵；（3） AB+BA是反对称矩阵。【10】求矩阵X,已知:6 ；710203 ；（ 2） X（1） X0 2 13 0 0【11】已知矩阵A,求A的逆矩阵A 10 2 1 a b 亠（1） A ,其中 ad-bc=1 ; （2） A 1 1 2c d1 1 113 5 70 1 2 3（3） A0 0 1 20 0 0 1宀 1 d b（1） A 1 ; （2） Ac a1 3

11、11 381 0 1 2 7（3） A 1【12】在下列矩阵方程中求矩阵 X:1 2 3 53 4 5 93 1（1） X 22 ；16 111312191 2 3（2） 2 2 4 X2 1 0【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。【14】假设方阵A满足矩阵方程 A2 2A 5E 0 ,证明A可逆，并求A提示：由A22A5E0得 A -（A-2 E） E o【15】填空题（1）设矩阵A=1 ,1 2则（A 3E） （A 9E） =（2） 设A是3阶数量矩阵，且 A =-27，则A 1 = （3） 设A是4阶方阵，且 A =-2，则A的伴随矩阵A*的行列式A* = （1） 01 ；

12、（3） -8【16】选择题（1） 设A是n阶方阵，且满足等式 A2 A 2E 0 ,贝U A的逆矩阵是（A） A-E ; （B） E-A; （C） （A E） ； （ D） （E A）。A、（AB）C、（AB）（2） 设A, B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是A B ； D （AB） 1 （ 1）n AB（3）设A, B, C为n阶方阵，且ABC=E则必成立的等式为A、ACB=E;BCBA=E;C BAC=E;D BCA=E（4） 设A, B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是A、Am; B、（AB）m ; C AB;D、（A B）（5）设A, B, A+B, A 1+B

13、1均为n阶可逆矩阵，则（A 1+B 1 ）等于A、A 1+B 1 ； B A+B; C B（AB） 1 A ; D、（AB）（1） C; （2） B; （3） D; （4） A; （5） C1 1 22 2 43 0 60 3 01 010 10 0110 0 00 1 1 0 0。0 0 1100 10 11 0（2） 00。【17】求下列矩阵的秩25 31174375 94531325413425 3248476735201 155269823294 86 4281284 52r（A）=2;（2） r （A） =2;（3） r（A） =3; （4） r （A） =2;【18】求下列矩阵的标准形【19】假设方阵A满足方程aA2 bA cE0 ,其中a，b, c是常数，而且Cm 0，试证A是满秩方阵，并求出其逆矩阵。【20】选择题8，且r （A） =2，则t等于tA、 -6 ; B、 6; C8;D t为任何实数。（2）设A是3阶方阵，若A2 =0,F列等式必成立的是A、A=0; B、r （A） =2; C、A=0； D A 0（3）设A是mX n矩阵，且mn则必有A、AtA 0 ； B、AtA 0 ； C、AtA f 0 ； D、ArA p 0。答