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【工程问题】

一件工程，我们通常将它看做一个整体，比如需要12天完成，那么我们每天的完成量就是

。

所以，最重要的就是将整个看做“1”，如果遇到分开来完成的问题，我们的一个等式就是“之前完成量+之后完成量=整个工程量”，然后分别求出各个工程量。

两个或多个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量。

工作量=工作效率×

工作时间

工作效率=工作量÷

工作时间=工作量÷

工作效率

例题：

1.一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在由甲独做4小时，剩下的由甲、乙合做，还要几小时完成？

若设剩下部分要x小时完成，依据题意得正确的方程是_______________.

2.甲、乙二人共同做一件工作，规定若干天完成，若甲单独完成这工作，则比规定天数多做12天；

若乙单独完成这工作，则比规定天数多做27天，求甲、乙单独完成这件工作各需多少天？

3.甲组有37人,乙组有23人,现在需要从甲、乙两组调出相同数量的人去做其他工作，若使甲组剩下的人数为乙组剩下的人数的2倍，则需要从甲、乙两组各调出多少人？

4.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需12天，丙单独完成要15天，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，问还需多少天能完成这项工程的

？

5.甲组有37人,乙组有23人,现在需要从甲、乙两组调出相同数量的人去做其他工作，若使甲组剩下的人数为乙组剩下的人数的2倍，则需要从甲、乙两组各调出多少人？

18、一项工程，甲乙合做要8天完成。

现在甲先做6天，乙接着做了10天才完成，求乙独做要多少完成？

19、修一条路，如果每天修12米，8天可以完成。

如果每天多修4米，多少天可以完成？

20、一件工程原计划40人做15天完成，现在要想提前3天完成，还需要增加多少人？

【路程问题】

在路程问题中，我们首先要知道：

对于一个数学公式，我们不仅要记住它原来的公式，还要记住它的变形。

【例】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（）．

A．0.5小时B．1小时C．1.,2小时D．1.5小时

思路点拨要求从乙港返回甲港所需的时间，需求甲、乙两港的距离及顺水速度，考虑增设辅助未知数．

强化训练：

<

一>

相向同向问题

1.甲、乙两地相距270km,慢车以每小时50km的速度从甲地开出,快车以每小时60km的速度从乙地开出,慢车先开出1.5h,两车相向而行,设慢车开出x（h）后两车相遇,则列出的方程为_____________.

2.甲、乙两人相距80m,相向而行,甲从A地出发,每分走7m,乙从B地出发,每分走6.5m,如果甲先走12m,求甲出发后几分与乙相遇.设甲出发后x（min）与乙相遇,根据题意,所列正确的方程是______________________.

3.小张乘车从学校去海滨共行驶了142km,汽车先走了一段平路,以后走上坡路,共用了5h.若汽车走平路的速度为30km/h,上坡的速度为28km/h,则平路长__________km,上坡路长________________km.

4.甲、乙两地相距35km,小张、小刘两人同时出发相向而行,小张骑自行车由甲地向乙地,每小时运行9km.小刘步行由乙地向甲地,经过150min后两人相遇,则相遇地点距离乙地有多远?

5.小李步行上山每小时走3.5km,下山每小时走5km,而上山比下山多用3h,求往返山路的路程;

若设山路长为x（km）,根据题意,所列正确方程是_______________________.

6.一通讯员骑自行车在规定时间内把文件送到某地,他每小时走15km,则早到15min,如每小时走12km,则迟到12min,则原定时间是__________.

7.甲、乙两架飞机同时由相距1500km的两地相向飞行,1h后相遇,已知甲飞机的飞行速度是乙飞机飞行速度的1.5倍,则甲飞机的飞行速度是__________,乙飞机的飞行速度是_________.

8.甲、乙两人要从A地到B地,甲步行,每小时走5km,乙骑自行车,甲出发1.5h后乙出发,经过50min后,甲、乙两人同时到达B地,则乙的速度是每小时__________km.

9.在某次环城自行车比赛中,速度最快的运动员出发后35min第一次遇到速度最慢的运动员,已知最快的运动员的速度是最慢的运动员的速度的1.2倍,环城一周为7km,求两名运动员的速度各是多少.

10.甲、乙两人分别从相距7km的A,B两地同时同向前往C地,早晨6点乙徒步从B地出发,甲骑自行车在早晨6点15分从A地出发追赶乙,速度是乙的

倍,在上午8时45分追上乙,求甲骑自行车的速度是多少.

11.小赵、小孙两人同时从甲村出发到乙村,小赵的速度为9km/h,小孙的速度为15km/h,小孙因有事在途中停了4h,因此比小赵迟到1h,求甲、乙两村间的距离。

12.小孙、小王两人骑自行车从相距75km的两村相向而行,小骑骑行

h后,小王开始动身,又经1h40min两人相遇,已知小王的速度比小孙每小时快2.5km,求两人的速度.

13．甲车和乙车分别以每小时速度50千米和60千米同时从A、B两地相对而出，两车相遇后，乙车继续行驶5小时才能到达A地。

求A、B两地相距多少千米？

二>

顺逆速度

当我们逆风行走时，你会感觉走路很吃力，这是因为风会有一个逆着你行进方向的速度，同理飞机在逆风飞行时，它的速度一定比没有风的时候慢，同样的在顺风时，它的速度就比没风的时候快了。

顺风：

飞机速度=飞机无风速度+风速

逆风：

飞机速度=飞机无风速度-风速

这个与轮船在水中航行的原理时一样的：

顺水航行：

轮船速度=船静水速度+水速

逆水航行：

轮船速度=船静水速度-水速

所以在解轮船或者飞机运行的问题时，一定要先看出它的速度是多少。

另外，不论顺、逆，飞机和船本来的速度是不变的，及飞机无风速度和船在静水中的速度时相等的，这有时就是题中的一个等式

1.轮船在A、B两地之间往返航行，船速是24千米/小时，水速是6千米/小时，轮船从A去B的速度是30千米/小时，则回来速度是_______________________

2.一架飞机在两个城市之间飞行,顺风飞行需

h,逆风飞行需3h,若风速是24km/h,求两城市间的距离,若设两城市间的距离为x（km）,根据题意,所列正确方程是___________________________.

3.已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________。

4.甲、乙两名游泳运动员从东西两岸开始游到对岸后返回，两人在距东岸xm的地方相遇，泳池长800m,在这一过程中，甲游的路程是___________,乙游的路程是___________。

5.某人驾驶一小船航行在甲、乙两码头之间,顺水航行需6h,逆水航行比顺水航行多用2h,若水流速度是每小时2km,求甲、乙两码头之间的距离.

6.一艘轮船从甲地顺流而下6小时到达乙地，原路返回需用10个小时才能到达甲地，已知水流的速度是每小时3千米，求甲、乙两地的距离。

7.一轮船往返于甲、乙两码头之间,顺水航行需要3h,逆水航行比顺水航行多用30min,若轮船在静水中的速度为26km/h,求水流的速度.

8.在一条公路上,甲、乙两个车站的距离为108km,4月20日16点整,A,B两辆汽车分别从甲、乙两车站同时出发,相向而行,已知A车的速度为45km/h,B车的速度为36km/h,求两车相遇时所用的时间.

9.船在静水中的速度是14km/h，水流速度是2km/h，船先顺流由一码头开出，再逆流返回，若要船在3h30min内返回，则船最远能开出多远？

三>

追及问题：

两个运动物体在不同地点同时出发，或者在同一地点而不是同一时间出发，它们做同向运动，在后面的速度快并且在一定时间内可以追上前面的物体。

这一类的应用题就叫做追及问题。

在追及问题中：

在追及过程中，一定要注意的问题就是在快追慢的过程中，慢速者是一直在运动的。

1.好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马多少天可以追上劣马？

2.菲菲和露露在200米的环形跑道上跑步，菲菲跑一圈需要40秒，她们在同一时间从同一地点出发，同向跑步。

露露第一次追上菲菲时跑了500米，求露露的跑步速度。

3.我认命解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，我军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问我军几个小时可以追上敌人？

4.一辆客车从甲地开往乙地，每小时行48千米。

一辆货车同时从乙地开往甲地，每小时行驶40千米，两车在距离两地中点16千米处相遇，求甲乙两地的距离。

5.丽丽从家上学，她以1m/s的速度向学校走去，走了10分钟后发现没带课本，于是打电话叫爸爸送过来，自己继续上学，爸爸开车以36千米/小时的速度送来，最后爸爸和丽丽刚好在学校门口相遇，问学校到丽丽家多远？

6.兄妹俩同时从家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60千米。

哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远？

四>

相遇问题

两个运动的物体同时由两地出发，在途中相遇，这类问题叫相遇问题。

相遇问题根据物体开始运动方向是否相同分为同向运动和相向运动。

在同向运动中，一般是绕圈运动，相遇也就是速度快的物体比速度慢的物体多运动一圈，所以：

一圈长度=（快速-慢速）*运动时间

在相向运动中，他们相遇时的路程正好是开始运动时两个起点之间的距离，而运动时间相同，所以：

总路程=（甲速+乙速）*运动时间

在相遇问题中最主要是抓住在运动过程中他们的时间关系和两物体之间的路程关系。

1.南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

2.小李和小刘在周长400米的圆形跑到上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们同时从同一地点出发。

如果他们同向而跑，那么他们经过多长时间再次相遇？

如果他们反向而跑呢？

3.甲乙两人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米出相遇，求两地之间的距离。

4.甲、乙两人分别在相距50km的地方同向出发，乙在甲的前面，甲每小时走16km，乙每小时走18km，如果乙先走1小时，问甲走多少时间后，两个人相距70km？

储蓄、储蓄利息问题

（1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。

利息的20%付利息税

（2）利息=本金×

利率×

期数本息和=本金+利息利息税=利息×

税率（20%）

（3）

例题

1.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？

（不计利息税）

2．为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

（1）直接存入一个6年期；

（2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

（3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；

你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

练习

1、老王把3000元存入银行，定期两年，年利率是2.25%，到期时，他可获得本金和利息共多少元？

2、我国税法规定，每个月收入超过800元不超过1500元的，超过部份要缴纳10％的个人所得税，小强的爸爸月收入1250元，每月应缴纳个人所得税多少元？

3、妈妈2002年10月1日把3000元存入银行，定期一年，年利率2.25％，到期时国家按所得利息的20％征收个人所得税。

到期时妈妈应缴纳个人所得税多少元？

妈妈这次储蓄的实际收入多少元？

4．利息税的计算方法是：

利息税=利息×

20%．某储户按一年定期存款一笔，年利率2.25%，一年后取出时，扣除了利息税90元，据此分析，这笔存款的到期利息是____元，本金是_______元，银行向储户支付的现金是______元．

5．小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）

6．为了准备小明三年后上高中的学费，他的父母准备现在拿出3000元参加教育储蓄，已知教育储蓄一年期利率为1.98%，二年期利率为2.25%，三年期利率为2.52%，请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多

7.白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（）．

A．1B．1.8C．2D．10

8.某人按定期2年向银行储蓄1500元，假设每年利率为3%（不计复利）到期支取时，扣除利息所得税（税率为20%）此人实得利息为（）

A、1272元B、36元C、72元D、1572元

9.用若干元人民币购买了一种年利率为10%的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和1320元。

问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？

10．购买了25000元某公司1年期的债券，一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是多少？

市场经济、打折问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝

×

100%

（3）商品销售额＝商品销售价×

商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×

销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。

1．某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？

优惠价是多少元？

2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

练习：

1．一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为________元．

2．某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为______元

3．某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（）．

A．25%B．40%C．50%D．1

4．两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（）．

A．赢利16.8元B．亏本3元C．赢利3元D．不赢不亏

5.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？

若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）

A.45%×

（1+80%）x-x=50B.80%×

（1+45%）x-x=50

C.x-80%×

（1+45%）x=50D.80%×

（1-45%）x-x=50

6.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利40元销售，仍可获利10%，则x为（）

A、700元B、约733元C、约736元D、约856元

7．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折。

8．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价。

9、某商品进价是1000元，标价为1500元，商品要求以利润率不低于5%的售价打折

出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

方案选择问题

10．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：

如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：

尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？

为什么？

11．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：

“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；

“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．

（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．

（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？

（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？

12．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？

应交电费是多少元？

13．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？