向量的数量积寻找合适的基底Word格式.docx

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442屯片片彳2

例如：

（a±

b）=a±

2a'

b+b

5、若a=^q+^d'

b=+，则

彳寸镯耐呻T呻2叫2时—

a，b=（^161+扎202卜（气ei+^e?

）=人气©

+為+（兀1»

2十兀2»

1

由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将a,b用基底表示出来，则可计算a:

（二）选择合适基底解题的步骤与技巧:

1、如何选择“合适”的基底：

题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？

如

果有，那就是它们了。

所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。

常见的可以边所成向量作基底的图形有：

等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。

2、向量的表示：

尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示,

常用的方法有:

（1）向量的加减运算

BDI:

CD=m:

n，J则AD=AC+aB，其

m+nm+n

（2）“爪”字型图：

在ABC中，D是BC上的点，如

中

T1T1T

AD,AB,AC知二可求一。

特别的，如果AD是BC边上的中线，贝UAD=—AC+—AB

22

3、计算数量积：

将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计

算过程中要注意基底的夹角

、例题精炼例1:

如图，在LABC中，NBAC=120[aB=2,AC=1,D是边BC上一点,

rT

DC=2BD，贝UADBC=

知,所以很难直接求出数量积。

考虑是否有合适基底，NBAC=120,AB=2,AC=1，可计算出Ab-Ac=|AB|AC|cos120"

=-1，进而对于AB,AC，模长均已知，数量积已求，条件齐备，适合作为基底。

用AB,AC表示ADEC:

TTTT〔r2T

BC=AC—AB,AD=—AC+—AB,

33

.AD.BC=（AC—ABr1AC+2ABL1AC2+%；

AC—27B2—

（33丿33

133

心3

答案：

As訖一8

例2:

如图，已知在LABC中，AD丄AB,=V3BD,aD

TT

=1，贝yACAD=

思路：

观察条件，AC,AD很难直接利用公式求解.

虑选择两个向量表示AC,AD,条件中

AD丄AB=AD「AB=0（数量积有了），

考

AD=1（模长有了），所以考虑用AB,AD

作为基底。

下一步只需将AC表示出来，=BD:

CD=1:

（73-1）（底

边比值一一联想到“爪”字型图AS二住F+L7C，解得:

V3V3

AC=73aD-（73-1）AB

所以AC"

AD=（73aD-（73-1）AB）.AD=73ad2=73

AC・AD=^

例3:

在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD,CA=3CE，则

AD-BE=

如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边的向量，两两数量积均可计算，所以考虑aD,BE用三边向

所成

量进行表示，表示的方法很多，例如观察“爪”字形图可得

T1TTT2T[T

AD=—（AB+AC）,BE=—BC+-BA

233

TT1TTCT1T）

二ADEE=—（AB+AC—BC+—BA2'

V33丿

AD・BE=-1

小炼有话说：

这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以

D为坐标原点，BC

所在直线为x轴，AD所在直线为y轴。

D,E坐标完成之时，就是AD”"

BE计算的

完成之日，且此法在计算上更为简便。

例4:

如图，在LABC中，已知AB=4,AC=6,NBAC=60,，点D,E分别在边AB,AC

cosBAC=12

由已知可得：

AB=16,AC=36,AB”AC=|aB||aC/.BF-DE=4答案：

C例5:

已知向量AB,AC的夹角是120，且IAb|=2,|AC|=3，若AP"

AB+AC，且AP丄BC,则实数A的值是思路：

题中AB,AC模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示AP,BC，再根据

AP丄BC求出A即可

rrrr

解:

BC=AC—AB*APIBC

全国名校高考数学复习优质专题学案汇编（附详解）

12

二①式变为：

4a+9-3（a-1）=0解得A=—

7

再作数量积运算并利用x+y=1消元即可求出最值

&

TtttTtttTt

CD=CB+BD=CB+xBABE=BC+CEBCyC

TtTTTtT2TTT--1TT

/.CD-BE=（CB+xBA卜（BC+yCA）=-BC+yCBCA+xBA-BC+xyBACA

=_1+1y+」x+-%=-1+-b+x”-Xy=--xj

2222222

»

X+y=1”y=1-X且0VXc1

（2）在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担,比如本题中用X把y消掉，则X所满足的条件除了已知的x>

0之外，还有y>

0=y=1—x>

0，即卩Xc1例7:

如图，在四边形ABCD中，AB丄BC,AB=3,BC=4L|ACD是等边三角形,

则ACBD的值为思路：

从条件中可分析LABC,LADC的边所成的向

两之间数量积可求，其公共边为AC，所以以AC作为口，所求数量积中只有BD需要转换，可得

bd=bC+cd，所以AC.BD=AC・（BC+CD戶AC£

/ACCD，进而可解

TTT

BD=BC+CDtTtt—ttt—

二ACED=AC（BC+CD）=aCBC+ACQD在RtABC中，AC=Jab2+BC2=5

/.在等边三角形ADC中，DC=AC=5

（1）在求ACCD时要注意夹角不是NACD，而是它的补角!

甜，所以

（2）在求AC•BC也可以用投影定义来解，即AC在BC上的投影为

TT[Tf

ACBC=|bC

例8:

如图，四边形ABCD满足AB-AC=DBPC=0,|Ab|=2|Dc|=2，若M是BC

的中点，贝uAB”AM

A.1B.-1

C.

2

本题要抓住AB.AC.DC=0这个条件，所求表达式中主要解决

AM,DM。

从图中可发现AM,DM分别是LIABCUBDC的中线，从而AM,DM可

1TT1TT

用条件中的向量进行表示：

AM=2（AB+AC）,DM=-（DB+DC），从而求得表达

式的值

AMJAB+AC）,DMJDB+衣）

TT—MT1TTT1TTT

1—^21—!

=—AB+-AB227AB”AC=DB”DC=0,|AB|=2|dc|=2

T—HT1T21T23

.•.AB”AM-DMDC=—ABDC=-222

二AB”AM-DMDC=—AB（AB+AC）--DC（DB+DC）

*T1TT1T2

I”AC-—DCDBDC22T]

/.DC=1

D

3

2，则'

d）

例9:

菱形ABCD边长为2，ZBAD=120，点E,F分别在BC,CD上，且—ITTTTTTT

BE=aBC,DF=PDC，若AE”AF=1,CECF

A.1

C.5

四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑

Trr3

将题目中所给的ALAF^CECF—2所涉及的向量用菱形的边和进行表

示，进而列出关于屮的方程，解出方程便可求出a+P

bTTTTTTTTTT解:

AE=AB+BE=AB+aBC,AF=AD+DF=AD+ADC

CE=（1-入=（1-A）CD

TTTTTT

二AE”AF=（AB+aBCHAD+ADC）

=AB.AD+^BC・AD+aDC.ABSBC睨一2+4"

4「2沖

TTTT

CECF=（1-A）（1-4）CBCD=—2（）川一（A+A）+1）

I3

[—2+4（入+卩）+2aA=1j2（z+4）+）川=-

3={2=*

2（沖—（几+4）+1）=—I沖_（k+卩）=__L2[4

A+A=—

_1

_3

例10:

已知向量OA,OB,OC满足条件：

OA+OB+OC.O，且

=2,

点P是LABC内一动点，贝UAB”AP+BCbP+CACP=

TTTTrTT

本题已知OA,OB,OC模长，可对OA+OB+OC=0进行变形得到更多条件:

tTTTttTTT2T2tT

OA+OB+OC=0=OA+OB=-OC=（OA+OB）=OC=OAOB=—2，同理

OBOC=0COA=-2，从而可将所求式子中的向量均用OAQBQC表示再进行计

算即可。

1T^44TT^4TT22

OA+OB+OC=0=OA+OB=-OC=（OA+OB）=（—OC）

.OA^OBiOAO^OC2，代入IOatOB卜fOC

=2

TtTTTtTT

可得：

OAOB=—2，同理OBOC=OCOA=OA”OB=—2

/.AB”AP+BC”BP+CACP

=（OB-OA）（OP—OA）+（OC—OB）（OP—OB）+（OA—OC）（OP—OC）

TTTTTTTrTTtt

=（OB-OA）OP-（OB-OA）OA+（OC-OB）OP-（OC—OB）OB

+（OA-OC”O氐OAOCOC

「TTTTTTTTT

=（OB_OA）+（OC-OB）+（OA-OC）+OP-（OBQA+OCOB+OAQC）

^^222

+OA+OB+OC

=-（-6）+12=18

18

—IT—ITTT

（1）本题在处理OA,OB,OC关系时，从OA+OB=-0C入手两边同时模长平方，得到数量积的关系，这也是“向量等式-数量积等式”的常见变形方法

TT—ITr4

（2）在处理OA,OB,OC关系时也可以通过数形结合，从OA+OB+OC=0和

O^=|O^=|Oc|=2中发现OA,Ob,Oc在图像上的特点，推断出两两夹角120从而计算出它们的数量积

（3）P为动点，但从所求来看表达式有极大可能是一个定值，所以在应试时如果

想不到正规方法，也可以考虑利用特殊值进行处理，比如利用条件构造出一个特殊模型，即LABC为等边三角形，且0是中心，然后再给P选择一个特殊位置（比

如与0重合）计算出结果。