向量的数量积寻找合适的基底Word格式.docx

1、4 4 2 屯 片片彳2例如：（ab）=a 2a b +b5、若 a = q + db = + ，则彳寸 镯 耐 呻 T 呻2 叫2 时 a，b = （161 +扎202 卜（气ei +e?）=人气 + 為+ （兀1 2 十兀21由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将a,b用基底表示出来，则可计算a:（二）选择合适基底解题的步骤与技巧:1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。所以 在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长 已知。常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三 角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的

2、表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示,常用的方法有:（1 ）向量的加减运算BDI: CD =m:n，J则 AD = AC + aB，其m +n m + n（2） “爪”字型图：在ABC中，D是BC上的点，如中T 1T 1TAD,AB,AC知二可求一。特别的，如果AD是BC边上的中线，贝U AD= AC+AB2 23、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角、例题精炼 例 1:如图，在 LABC 中，NBAC =120aB =2,AC =1,D 是边 BC 上一点,r TDC =2BD，贝U AD BC =知,所以很难直

3、接求出数量积。考虑是否有合适基底，N BAC =120 , AB =2, AC =1， 可计算出Ab -Ac =|AB |AC|cos120 = -1，进而对于AB, AC，模长均已知，数量积已 求，条件齐备，适合作为基底。用 AB,AC表示AD EC :T T T T r 2TBC =AC AB , AD =AC +AB ,3 3.AD.BC=（ACABr1AC+2ABL1AC2+%；AC27B2 （3 3 丿 3 313 3心3答案：As訖一8例2:如图，已知在L ABC中，AD丄AB, =V3BD,aDT T=1，贝 y AC AD =思路：观察条件，AC, AD很难直接利用公式求解.虑

4、选择两个向量表示AC,AD,条件中AD 丄 AB = ADAB = 0 （数量积有了），考AD=1 （模长有了），所以考虑用AB,AD作为基底。下一步只需将 AC表示出来，= BD :CD =1: （73-1）（底边比值一一联想到“爪”字型图 AS二住 F +L7C ，解得:V3 V3AC =73aD -（73-1 ）AB所以 AC AD =（73aD -（73-1 ）AB ）.AD =73ad2 =73ACAD=例3:在边长为1的正三角形ABC中，设BC =2BD,CA = 3CE，则AD -BE =如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边 的向量，两两数量积均可计算，所以考虑 aD

5、,BE用三边向所成量进行表示，表示的方法很多，例如观察“爪”字形图可得T 1 T T T 2T TAD = （AB +AC ）, BE =BC +-BA2 3 3T T 1 T T CT 1T）二 AD EE =（AB +AC BC +BA 2 V3 3 丿ADBE = -1小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴。D,E坐标完成之时，就是AD ”BE计算的完成之日，且此法在计算上更为简便。例4:如图，在LABC中，已知AB =4, AC =6,NBAC =60,，点D,E分别在边AB,ACcos BAC = 12由已知可得：

6、AB =16, AC =36,AB ”AC =|aB| |aC /. BF -DE =4 答案：C 例 5:已知向量 AB,AC 的夹角是 120，且 I Ab| =2,| AC| =3，若 AP AB + AC， 且AP丄BC ,则实数A的值是 思路：题中AB,AC模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示 AP,BC，再根据AP丄BC求出A即可r r r r解: BC =AC AB * API BC全国名校高考数学复习优质专题学案汇编（附详解）12二式变为： 4a+9-3（a -1 ）=0解得A =7再作数量积运算并利用x + y=1消元即可求出最值& TtttT tttTt CD =CB+

7、BD =CB+xBA BE= B C+ C E B C y CTtTTTt T2TTT-1 TT/. CD -BE = （CB + xBA 卜（BC + yCA ）= -BC + yCB CA + xBA -BC + xyBA CA=_1 +1y+x+-% = -1+-b + x”-Xy = -xj2 2 2 2 2 2 2 X + y = 1 ”y = 1 - X 且 0 V X c 1（2 ）在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担, 比如本题中用X把y消掉，则X所满足的条件除了已知的x0之外，还有 y 0= y =1 x 0，即卩 X c1 例7 :如图，在四边形

8、 ABCD中，AB丄BC,AB =3,BC =4L|ACD是等边三角形,则AC BD的值为 思路：从条件中可分析LABC, LADC的边所成的向两之间数量积可求，其公共边为AC，所以以AC作为 口，所求数量积中只有BD需要转换，可得bd=bC+cd ，所以 AC.BD=AC（BC+CD戶AC/ACCD ，进而可解T T T BD=BC +CD tTtt ttt 二 AC ED =AC （BC +CD ）= aC BC +AC QD 在 RtABC 中，AC = Jab2 +BC2 =5/.在等边三角形ADC中，DC = AC = 5（1）在求AC CD时要注意夹角不是NACD，而是它的补角!甜

9、，所以（2）在求AC BC也可以用投影定义来解，即AC在BC上的投影为T T TfAC BC =|bC例 8:如图，四边形 ABCD满足 AB -AC = DB PC = 0,| Ab| = 2| Dc| = 2，若 M 是 BC的中点，贝u AB ”AMA. 1 B. -1C.2本题要抓住AB .AC .DC =0这个条件，所求表达式中主要解决AM ,DM。从图中可发现AM,DM分别是LI ABCU BDC的中线，从而AM , DM可1 T T 1 T T用条件中的向量进行表示：AM =2（AB+AC）,DM =-（DB+DC ），从而求得表达式的值 AMJAB+AC）,DM JDB +衣）

10、T T M T 1T T T 1T T T12 1 !=AB +-AB 2 2 7AB ”AC = DB ”DC =0,|AB| =2|dc| =2T H T 1T2 1T2 3.AB”AM-DM DC= AB DC =- 2 2 2二 AB ”AM -DM DC = AB （AB + AC ）-DC （ DB + DC ）* T 1T T 1T2I ”AC -DC DB DC 2 2 T/. DC =1D32，则d ）例9 :菱形ABCD边长为2，Z BAD =120，点E,F分别在BC,CD上，且 I T T T T T T TBE = aBC,DF =PDC，若 AE ”AF =1,CE

11、 CFA. 1C. 5四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑T r r 3将题目中所给的ALAFCECF 2所涉及的向量用菱形的边和进行表示，进而列出关于 屮的方程，解出方程便可求出a + Pb T T T T T T T T T T 解: AE = AB +BE =AB + aBC, AF = AD +DF = AD + ADCCE=（1 -入=（1 - A）CDTTT T T T二 AE ”AF =（AB +aBC HAD + ADC ）=AB.AD + BC AD + aDC .AB SBC 睨一2+4 42 沖T T T TCE CF =（1 - A ）（1 -4 ）CB CD =

12、 2（）川一（A + A ）+1 ）I 32 +4（入 + 卩）+ 2aA =1 j2（z + 4 ）+）川=-3 = 2 = *2（沖（几 + 4 ） + 1 ） = I沖 _（k + 卩）=_ L 2 4A + A =_ 1_3例10:已知向量OA,OB,OC满足条件：OA+OB+OC.O，且=2 ,点 P 是 L ABC 内一动点，贝U AB ”AP + BC bP +CA CP = T T T T r T T本题已知OA,OB,OC模长，可对OA+OB+OC =0进行变形得到更多条件:tTTT tt T TT2 T2 t TOA+OB +OC =0= OA+OB =-OC= （OA +

13、 OB ） = OC = OA OB = 2，同理OB OC =0C OA = -2，从而可将所求式子中的向量均用 OAQBQC表示再进行计算即可。1 T 4 4 T T 4 T T 2 2 OA+OB +OC =0= OA+OB =-OC= （OA+OB ） =（OC ）.OAOBiOAOOC2，代入 I OatOB 卜 fOC=2Tt TTTtTT可得：OA OB = 2，同理 OB OC =OC OA =OA ”OB = 2/. AB ”AP +BC ”BP +CA CP=（OB -OA ）（OP OA ） +（OC OB ）（OP OB ）+（OA OC ）（OP OC ）TTT TT

14、T TrT Ttt= （OB -OA）OP -（OB -OA） OA+（OC -OB ） OP-（OC OB ）OB+（OA-OC”O氐 O A OC OCTT T T T T TT T=（OB _OA ）+（OC -OB ） +（OA -OC ）+OP - （OB QA +OC OB +OA QC ）2 2 2+OA+OB + OC= -（-6）+12=1818I T I T T T（1）本题在处理OA,OB,OC关系时，从OA+OB = -0C入手两边同 时模长平方，得到数量积的关系，这也是“向量等式-数量积等式”的常见变形方法T T I T r 4（2）在处理OA,OB,OC关系时也可以通过数形结合，从 OA+OB +OC =0和O =|O =|Oc| =2中发现OA,Ob,Oc在图像上的特点，推断出两两夹角120从 而计算出它们的数量积（3）P为动点，但从所求来看表达式有极大可能是一个定值，所以在应试时如果想不到正规方法，也可以考虑利用特殊值进行处理，比如利用条件构造出一个特 殊模型，即L ABC为等边三角形，且0是中心，然后再给P选择一个特殊位置（比如与0重合）计算出结果。