完整版六年级奥数专题01染色问题doc文档格式.docx
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62个小格完全盖住
?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:
至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?
7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一
只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?
8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
AB
一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:
n一定是偶数.
9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?
10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
证明:
一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）.
11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?
12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
A
B
一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格
置B.证明:
至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.
走了若干步后到了位
13.88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和
形?
如果可以,请给出一种剪法;
如果不行,请说明理由.
9个41的长方
14.（表
1）是由数字0,1交替构成的,（表2）是由（表
1）中任选
、
三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问（表2）中的A格上的数字是多少?
并说明理由.
表1
表2
———————————————答案——————————————————————
1.把影院的座位画成黑白相的矩形.（2931）,共有899个小方格.不妨假定四角黑格,共有黑格450个,白格449个.
要求看第二影,每位众必跟他相的某一众交位置,即要求每一黑白格必互,因黑白格的数不相等,因此是不可能的.
2.将号奇数的房染成黑色,号偶数的房染成白色.从1号房
出,只能按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍九个房在黑
色房中,个房不与1号房相,故不能不重复地走遍所有房又回到1号
房.
3.（a）行,走法如所示.
（b）不行,将小屋染成黑色,果染成黑白相的色,（b）中有41个黑色
的,40个白色的.从小屋出,按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍
80棵后,到达的的色是黑色,与小屋不相,故不可能最后回到小屋.
4.不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白
格,31个的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.
但是国象棋棋上角两格的色是相同的,把它去掉后剩下的是30个
白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.
5.中国象棋棋上有90个交叉点,把棋分成10个小部分,每部分有33=9个交叉点,由抽原知,至少有一个小部分内含有6只.
将一小部分的9个交叉点分涂上黑色及白色.有两只在不同色交叉点上,故一定有两只“互吃”.
6.六个点A、B、C、D、E、F.我先明存在一个同色的三角形:
考由A点引出的五条段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成
了相同的色,不妨AB、AC、AD三条同色.再考三角形BCD的三:
若其中有一条色,存在一个色三角形;
若三条都不是色,三角形BCD色三角形.
C
D
下面再来明有两个同色三角形,不妨三角形ABC的三同色.
（1）若三角形DEF也是色三角形,存在两个同色三角形.
（2）若三角形DEF中有一条色（不妨DE）,下面考DA、DB、DC
三
条段，其中必有两条同色.
①若其中有两条是色的,如DA、DB是色的,三角形DAB第二个同色三角形
（1）.
DA
EBC
（1）
②若其中有两条是色的,DA、DB色
（2）.此在EA、EB两条段中,若有一条色,存在一个色三角形;
若两条都是色的,三角形EAB色三角形.
上所述,一定有两个同色三角形.
（2）
7.甲虫不能走遍所有的立方体.
我将大正方体如分割成27个小正方体,涂上黑白相的两种色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相的小正方体染上不同的色.然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中的白色正方体出,每走一步,小正方体就改一种色.故它走27步,14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫去两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.
8.将棋上的各点按黑白相的方式染上黑白二色.
由“步”的行走,当“”从黑点出,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白⋯⋯要回到原出点（黑点）,它必跳偶数步.
9.不能.半象棋共有45个格点,从起点出跳遍半棋,起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.
10.与B点同色的点（白点）有22个,异色的点（黑色）有23个.从B点出,
跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.
11.不能.因为A、B两点异色,从B到A所跳的步数是一个奇数.
12.“车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A、B两点异色,故从A
到B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.
13.如图对88的棋盘染色,则每一个41的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个22的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个22的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.
+1
-1
-1-1
+1+1
-1-1-1
14.如下图所示,将表
（1）黑白相间地染色.
表
（1）
本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差
即（31+A）-32,于是（31+A）-32=32,故A=33.
二十染色问题
（2）
1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?
2.展览会有36个展室（如图）,每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?
3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?
4.下图是由4个小方格组成的“L”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4n的长方形,试证明:
5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”（马“”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况）.
6.能否用一个田字和15个41矩形覆盖88棋盘?
7.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个88的正方形棋盘?
8.在88棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?
若能请找出一条路,若不能,请说明理由.
9.下面三个图形都是从44的正方形分别剪去两个11的小方格得到的,问可否把它们分别剪成12的七个小矩形?
（1）
（2）
（3）
10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:
总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上（如图）
1红红红红
11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:
至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.
12.用一批124的长方体木块,能不能把一个容积为666的正方体木箱充塞填满?
说明理由.
13.在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:
每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:
是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?
14.1212的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至34矩形的另一角（如图）.问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点（这种情况又称马有“回路”）?
O
1.不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白
色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.
2.不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
3.不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.
4.如图,对4n长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L形纸片所占的方格只有两类:
第一类占3黑1白,第二类占3白1黑.
n个
设第一类有a个,第二类有b个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有
3b+a=3a+b,即a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4
的倍数,总数是8的倍数,从而n是偶然.
5.将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在
某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.
6.如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个41的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个41的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个41的矩形不能复
盖88的棋盘.
7.将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个
或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88的棋盘.
8.将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.
56
41
58
35
50
39
60
33
47
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40
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15
28
18
26
24
9.先44的棋黑白相的涂色（如）,道的是7个12矩形能否分复盖剪去A、B；
剪去A、C；
剪去A、D的三个棋.若7个12矩形可以复盖剪残的棋,因每个12矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋的白格与黑格数目相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋
（2）有5个白
格8个黑格,剪去A、D的棋（3）有5个白格8个黑格,因此两个剪的棋均不能被7个12矩形复盖,也就不能剪成7个12的矩形.
棋
（1）可以被7个1
2的矩形所复盖.下面出一种剪法:
10.在第一行的7格中必有4格同色,不妨4格位于前4个位置,且均
色.
然后考前4列构成的34矩形.若第二行和第3行中出2个或2个以上
的色格子.行的两个色格子与第一行的色格子就成一个
4角同
色格子的矩形.
若不然,第2、3行中都至少有3个格在前4列中,不妨第2行前3格
色,然第三行中的前3格中至少有2个格，故在二、三行的前
4列中必存
在四角都是色的矩形.
11.将17个科学家用17个点代表,两点之的段表示两个科学家之的.用三种色些段染色,表示三个,于是就成:
17
个点之的所有段用三种色染色,必有同色三角形.
从任意一点,不妨从A向其他16点A1,A2,⋯A16共可成16条段,用三种色染色,由抽原可知,必有6条段同色.6条段AA1,AA2,⋯AA6且同色.
考A1,A2,A3,A4,A5,A6六点之的,若有一条色,（如A1A2色）,三角形AA1A2色的同色三角形.
A1
A2
A3
A6
若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色
.考
虑从A1引出的五条线段1
516由抽屉原理知
其中必有三
AAAAAAAAAA,
的三
条是同色的.不妨设这三条为A12
14
且同为蓝色若三角形
234
AA
AA,
.
AAA
边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;
若三角形A2A3A4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.
A4
12.把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为222=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色222的正方体有14个,白色222
小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个111的小正方体.
将124的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含666=216个单位正方
体,26个长方体木块共盖住826=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下
216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个124长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.
13.如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.
因为一开始时,81枚棋子摆成一个99的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.
14.用两种方法对超级棋盘染色.
首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.
不妨设第奇数步跳入白格.
其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.
但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.
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