新苏教版六年级数学上册知识点总结Word文档格式.docx
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5表示求5个65的和是多少?
1/3×
5表示求5个1/3的和是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
ﻫ例如:
1/3×
4/7表示求1/3的4/7是多少。
ﻫ4×
3/8表示求4的3/8是多少.
(二)、分数乘法的计算法则:
ﻫ1、分数与整数相乘:
分子与整数相乘的积做分子,分母不变。
(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘:
用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
注意:
当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
ﻫ3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。
(尽量约分,不会约分的就不约,常考的质因数有11×
11=121;
13×
13=169;
17×
17=289;
19×
19=361)
4、小数乘分数,可以先把小数化为分数,也可以把分数化成小数再计算(建议把小数化分数再计算)
(三)、乘法中比较大小的规律
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
ﻫ一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律:
a×
b = b×
aﻫ 乘法结合律:
(a×
b)×
c =a ×
(b×
c)ﻫ乘法分配律:
(a + b)×
c=ac+ bcﻫ 二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),即求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:
画两条线段图,先画单位一的量,注意两条线段的左边要对齐。
(2)部分和整体的关系:
画一条线段图。
2、找单位“1”:
单位“1”在分率句中分率的前面;
或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧:
(1)“的” 相当于 “×
”,“占”、“相当于”“是”、“比”是“= ”
(2)分率前是“的”字:
用单位“1”的量×
分率=具体量
ﻫ例如:
甲数是20,甲数的1/3是多少?
列式是:
20×
1/3
4、看分率前有没有多或少的问题;
分率前是“多或少”的关系式:
ﻫ(比少):
单位“1”的量×
(1-分率)=具体量;
甲数是50,乙数比甲数少1/2,乙数是多少?
50×
(1-1/2)
(比多):
(1+分率)=具体量ﻫ例如:
小红有30元钱,小明比小红多3/5,小红有多少钱?
列式是:
(1+3/5)
3、求一个数的几倍是多少:
用一个数×
几倍;
4、求一个数的几分之几是多少:
用一个数×
几分之几。
ﻫ5、求几个几分之几是多少:
用几分之几×
个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量的方法:
(1)、单位“1”的量×
(1-分率)=另一个部分量(建议用)ﻫ(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
三、倒数ﻫ1、倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数。
ﻫ强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
ﻫ2、求倒数的方法:
ﻫ
(1)、求分数的倒数:
交换分子分母的位置。
ﻫ
(2)、求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
ﻫ(3)、求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
ﻫ(4)、求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数。
3、
1的倒数是1;
因为1×
1=1;
0没有倒数,因为0乘任何数都得0,(分母不能为0)
ﻫ4、真分数的倒数大于1;
假分数的倒数小于或等于1;
带分数的倒数小于1。
ﻫ5、运用,a×
2/3=b×
1/4求a和b是多少。
把a×
2/3=b×
1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数。
ﻫ1、分数除法的意义:
ﻫ乘法:
因数×
因数= 积
ﻫ除法:
积 ÷
一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
1/2÷
3/5意义是:
已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5,求另一个因数的运算。
ﻫ2、分数除法的计算法则:
ﻫ除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、分数除法比较大小时的规律:
(1)当除数大于1,商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)当除数等于1,商等于被除数。
ﻫ“[]”叫做中括号。
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
ﻫ 二、分数除法解决问题ﻫ1,解法:
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
解:
设未知量为X(一定要解设),再列方程
用X×
分率=具体量
例如:
公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。
(单位一是母鸡只数,单位一未知.)解:
设母鸡有X只。
列方程为:
X×
1/3=20
(2)算术(用除法):
单位“1”的量未知用除法:
即已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。
分率对应量÷
对应分率 =单位“1”的量
例如:
公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。
(单位一是母鸡只数,单位一未知,)用除法,列式是:
20÷
2、看分率前有没有比多或比少的问题;
分率前是“多或少”的关系式:
ﻫ(比少):
具体量÷
(1-分率)=单位“1”的量;
桃树有50棵,比苹果树少1/6,苹果树有多少棵。
ﻫ列式是:
50÷
(1-1/6)ﻫ(比多):
具体量÷
(1+分率)=单位“1”的量
一种商品现在是80元,比原价增加了1/7,原价多少?
80÷
(1+1/7)
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少:
用一个数除以另一个数,结果写为分数形式。
男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的几分之几。
15÷
20=15/20=3/4
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法:
ﻫ用两个数的相差量÷
单位“1”的量=分数ﻫ即①求一个数比另一个数多几分之几:
用(大数–小数)÷
另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。
5比3多几分之几?
(5-3)÷
3=2/3ﻫ②求一个数比另一个数少几分之几:
另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。
3比5少几分之几?
(5-3)÷
5=2/5ﻫ说明:
多几分之几不等于少几分之几,因为单位一不同。
ﻫ5、工程问题:
把工作总量看作单位“1”,合做多长时间完成一项工程用1÷
效率和,即1÷
(1/时间+1/时间),(工作效率=1/时间)
一项工程甲单独做要5天完成,乙单独做要10天完成,甲单独做要3天完成,三人合做几天可以完成?
列式:
1÷
(1/5+1/10+1/3)
(三)分数除法 分数除法:
1.分数除法计算法则:
甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
2.分数连除或乘除混合计算:
可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。
【转化成分数的连乘来计算】
3.除数大于1,商小于被除数;
除数小于1,商大于被除数;
除数等于1,商等于被除数。
4.分数除法的意义:
已知一个数的几分之几是多少,求这个数?
可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少比的认识:
1.比的意义:
比表示两个数相除的关系。
2.比与分数、除法的关系:
3.比值:
比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:
比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
4.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
5.最简整数比:
比的前项和后项是互质数。
也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。
6.化简:
运用比的基本性质对比进行化简,方法:
先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】7.按比例分配问题:
将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:
先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法 来计算。
(四)解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:
小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是大杯的1/3,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:
在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装8个,大盒里装了多少个球?
小盒呢?
分析:
假设6个全是小盒?
球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个?
小盒:
(80-8)÷
6=12大盒:
12+8=20?
检验先假设?
再比较(与条件不符)?
进行调整?
得出结果?
检验
(五)分数四则混合运算分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。
先算乘除法,后算加减法;
有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:
axb=bxa
加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)乘法的交换律:
a+b=b+a乘法的结合律:
(axb)xc=ax(bXc)乘法的分配律:
(a+b)xc=axc+bxc
稍复杂的分数乘法实际问题:
1.甲占(是)乙的几分之几
几分之几=甲÷
乙;
甲=乙×
几分之几;
乙=甲÷
2.甲占(是)总量的几分之几,求乙?
乙=总量-甲×
几分之几
3.甲比乙多(增加、上升、提高)几分之几
几分之几=(甲-乙)÷
甲=乙×
(1+几分之几);
(1+几分之几)4.乙比甲少(减少、下降、降低)几分之几
甲;
甲=乙÷
(1-几分之几);
乙=甲×
(1-几分之几)
(六)百分数
百分数的意义及读写:
1.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。
2.百分数的读写:
百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。
注:
百分数后面不带单位名称。
(常出现在判断题中) 百分数与小数的互化:
百分数与分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:
公式:
(一个数÷
另一个数)×
100%生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷
产品总数×
100%
出勤率=实际出勤人数÷
应出勤人数×
100%发芽率=发芽种子数÷
试验种子总数×
100%成活率=成活棵数÷
种植总棵数×
100% 出油率=油的重量÷
油料重量×
100%命中率=命中次数÷
总次数×
100%及格率=及格人数÷
参加考试人数×
100%
纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:
利息=本金×
利率×
存期
折扣问题:
折扣=实际售价÷
原售价×
100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
1.解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。
2.用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。
根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;
或者根据除法的意义,直接解答。
4.灵活运用本单元所学知识,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。
一、百分数的意义和写法
(一)、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
(二)、百分数和分数的主要联系与区别:
ﻫ联系:
都可以表示两个量的倍比关系。
区别:
①、意义不同:
百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。
ﻫ②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;
分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法:
通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示,读作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:
ﻫ1、小数化成百分数:
把小数点向右移动两位(数位不够用0补足),同时在后面添上百分号。
2. 百分数化成小数:
把小数点向左移动两位(数位不够用0补足),同时去掉百分号。
ﻫ
(二)百分数的和分数的互化ﻫ1、百分数化成分数:
先把百分数改写成分母是100的分数,能约分要约成最简分数。
ﻫ2、分数化成百分数:
①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(建议用这种方法)ﻫ(三)常见分数小数百分数之间的互化;
ﻫ
三、用百分数解决问题ﻫ
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法:
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数,结果写为百分数形式。
男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的百分之几。
ﻫ列式是:
15÷
20=15/20=75﹪
3、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题,数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
ﻫ
(1)百分率前是“的”:
单位“1”的量×
百分率=百分率对应量ﻫ(2百分率前是“多或少”的数量关系:
(1±
百分率)=百分率对应量ﻫ4、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。
方法与分数的方法相同。
ﻫ解法:
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
ﻫ(2)算术(用除法):
百分率对应量÷
对应百分率 = 单位“1”的量ﻫ5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。
只是结果要写为百分数形式。
看百分率前有没有比多或比少的问题;
百分率前是“多或少”的关系式:
(比少):
(1-百分率)=单位“1”的量;
大米有50千克,比面粉树少50﹪,面粉有多少千克。
(1-50﹪)ﻫ(比多):
具体量 ÷
(1+百分率)=单位“1”的量ﻫ例如:
工人做110个零件,比原计划多做了10﹪,原计划做多少个?
110÷
(1+10﹪)ﻫ6、求一个数比另一个数多百分之几的方法:
方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量÷
单位“1”的量=百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几:
另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。
ﻫ甲比乙多几分之几的问题,方法A,(甲-乙)÷
乙(建议用)
方法B,甲÷
乙-100﹪
老师计划改40本作业,实际改了50本,实际比计划多改了百分之几?
(50-40)÷
40=0.25=25﹪ﻫ②求一个数比另一个数少几分之几:
另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。
ﻫ乙比甲少几分之几的问题,方法A,(甲-乙)÷
甲(建议用)
ﻫ方法B,100﹪-乙÷
甲
张三家用了100度电,李四家用了90度电,李四家比张三家少用百分之几?
ﻫ(100-90)÷
100=0.1=10﹪ﻫ说明:
多百分之几不等于少百分之几,因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪,求乙比甲少或多百分之几,用a﹪÷
a﹪)
8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格:
1×
(1-a﹪)×
(1+a﹪)(假设原来的价格为“1”。
求变化幅度(求降价后的价格是涨价后价格的百分之几)用1-降价后又上升的百分率。