《矩阵与数值分析》课程数值实验报告文档格式.docx
《《矩阵与数值分析》课程数值实验报告文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《矩阵与数值分析》课程数值实验报告文档格式.docx（45页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
4.输出最后的求解结果。
1.3程序代码
本程序是用C++语言在MicrosoftvisualC++编译环境下编译和运行的。
由于代码太长，程序代码见附录1
1.4计算结果：
1）Gauss消去法求解结果：
1.当矩阵阶数n=10，即附录1程序代码中的N设为10时，运行程序得到如下结果：
消去之前的a和b：
6100000000|7
8610000000|15
0861000000|15
0086100000|15
0008610000|15
0000861000|15
0000086100|15
0000008610|15
0000000861|15
0000000086|14
请选择消元方法：
1↘（由键盘输入数字1，并回车）
第1次消元结果:
6100000000|7
04.666710000000|5.6667
……
第9次消元结果:
04.666710000000|5.6667
004.28571000000|5.2857
0004.1333100000|5.1333
00004.064510000|5.0645
000004.03171000|5.0317
0000004.0157100|5.0157
00000004.007810|5.0078
000000004.00391|5.0039
0000000004.002|4.002
求解结果:
X[10]={1111111111}
2.当矩阵阶数n=84，即程序代码中的N为84时，将附录1程序中N的值改为84，运行程序得到如下结果：
（由于此时矩阵太大，消元过程和1类似，所以省略写出。
）
X[84]={11111111111111111111111111111111110.99999810.9999921.000020.9999691.000060.9998781.000240.9995121.000980.9980471.003910.9921881.015620.9687521.06250.8750081.249980.5000311.99994-0.9998784.99976-6.9995116.999-30.99864.9961-126.992256.984-510.9691024.94-2046.874096.74-8190.4716383.9-32764.565531-131055262097-5241271.048e+006-2.09498e+0064.18586e+006-8.35533e+0061.66451e+007-3.30281e+0076.50077e+007-1.25821e+0082.34867e+008-4.02629e+0085.36838e+008}
2）Gauss列主元消去法求解结果：
消去之前的A和b：
2↘（由键盘输入数字2，并回车）
0-3.5-0.750000000|-4.25
8610000000|15
0861000000|15
0086100000|15
0008610000|15
0000861000|15
0000086100|15
0000008610|15
0000000861|15
0000000086|14
000000000-0.015617|-0.015617
求解结果：
X[84]={1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110.99999910.999997}
1.5结果分析：
1.当n=10时，用Gauss消去法和Gauss列主元消去法得到的值解和精确解
全吻合，此时无论Gauss消法法还是列主元消去法求解，可以得到理想结果。
2.当n=84，即矩阵阶数过大时，可以看出此时用Gauss消元法得到的数值解结果与精确解结果
相去甚远，误差很大。
这就是因为当矩阵太大时，在消元过程中出现了小数做除数的情形，在计算过程中的舍入误差使解的面目全非了。
而用Gauss列主元消元法得到的数值解与精确解仍然可以很好的吻合，所以比较Gauss消去法与Gauss列主元消去法求解方程组可知，后者能有效避免消元过程中的小主元做除数，从而使求解精度更高。
附录1：
#include<
iostream>
iomanip>
usingnamespacestd;
#defineN10//N表示矩阵大小
voidSet_value（doublea[][N],double*b）;
voidGauss_Array（double（*a）[N],double*b,double*X）;
//Gauss消元求解函数
voidSelect_main（doublea[][N],double*b,inti）;
voidSelectmain_Array（double（*a）[N],double*b,double*X）;
//Gauss列主元消去法
voiddisplay（doublea[][N],double*b）;
//输出当前（A|b）的函数
intmain（）
{
doubleA[N][N],b[N];
Set_value（A,b）;
//初始化系数矩阵A和右端向量b
doubleX[N];
//向量X用于存求解结果
intchoice;
cout<
<
"
1.Gauss消元2.Gauss列主元消元"
endl;
cin>
>
choice;
switch（choice）
{
case1:
Gauss_Array（A,b,X）;
break;
case2:
Selectmain_Array（A,b,X）;
default:
cout<
输入有误！
;
exit（0）;
}
X["
N<
]={"
for（inti=0;
i<
N;
i++）
cout<
X[i]<
"
}"
return0;
}
voidSet_value（doublea[][N],double*b）
{
for（intj=0;
j<
j++）
{
a[i][j]=0;
if（j==i-1）
a[i][j]=8;
if（j==i）
a[i][j]=6;
if（j==i+1）
a[i][j]=1;
}
b[i]=15;
if（i==0）
b[i]=7;
if（i==N-1）
b[i]=14;
display（a,b）;
voidGauss_Array（double（*a）[N],double*b,double*X）
N-1;
for（intI=i+1;
I<
I++）//每次消元过程
{
if（a[i][i]==0）//如果对角线元素出现为0的情况，则矩阵奇异，退出程序
{
cout<
矩阵奇异！
exit（0）;
}
doubleL=a[I][i]/a[i][i];
for（intj=i;
a[I][j]=a[I][j]-L*a[i][j];
b[I]=b[I]-L*b[i];
第"
i+1<
次消元结果:
display（a,b）;
//输出每次消元的结果
for（intk=N-1;
k>
=0;
k--）//倒序求解方程
if（a[k][k]==0）//如果消元后对角线元素出现为0的情况，则矩阵奇异，退出程序
cout<
exit（0）;
doublesum=0;
for（intm=N-1;
m>
k;
m--）
sum+=a[k][m]*X[m];
X[k]=（b[k]-sum）/a[k][k];
voidSelect_main（doublea[][N],double*b,intj）
intmaxi=j;
doublemax=a[j][j];
for（inti=j;
i++）//查找列主元
if（fabs（a[i][j]）>
fabs（max））
max=a[i][j];
maxi=i;
if（maxi!
=j）//将列主元所在行放至列首
doubleTemp=b[j];
b[j]=b[maxi];
b[maxi]=Temp;
for（intm=j;
m<
m++）
doubletemp=a[j][m];
a[j][m]=a[maxi][m];
a[maxi][m]=temp;
voidSelectmain_Array（double（*a）[N],double*b,double*X）
Select_main（a,b,i）;
exit（0）;
次消元:
//输出每次消元结果
if（a[k][k]==0）//如果消元后对角线元素出现为0的情况，则矩阵奇异，退出程序
doublesum=0;
voiddisplay（double（*a）[N],double*b）//输出系数矩阵A和b
for（intj=0;
setw（6）<
setprecision（5）<
a[i][j]<
//控制输出的数据宽度和精度
|"
b[i]<
二、用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组
2.1.问题
（a）选取不同的初始向量
和不同的右端向量
，给定迭代误差要求，用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法计算，观测得出的迭代向量序列是否收敛。
若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。
（b）选定初始向量
，如取
将
的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角元素不变，每次用Jacobi法计算，要求迭代误差满足
，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
2.2.算法描述
1）算法基本思路
1．Jacobi迭代法基本思路：
，设A=（aij）nxn是可逆矩阵，对其移移项和变形后可得如下迭代格式：
然后，取定一个初始向量如x（0）=（0,0,…,0）T，带入上式开始迭代，然后如果达到迭代精度则停止迭代，即得到方程的数值解。
2.Guass-Seidel迭代法基本思路：
Guass-Seidel迭代法是对Jacobi迭代法
（1）做出如下改进：
其余同Jacobi迭代法。
2）算法实现步骤：
1.用题目中已知的系数矩阵初始化矩阵A，并输入不同的右端向量b和不同的初始向量x（0）；
2.选择迭代方式：
1.Jacobi迭代法2.Gauss—Seidel迭代法；
当选择1时，按照迭代格式
（1）开始迭代，并给定迭代误差，同时在每次迭代结束后输出此时的迭代结果，以便观测和检查；
当选择2时，按照迭代格式
（2）开始迭代，并给定迭代误差，同时在每次迭代结束后输出此时的迭代结果，以便观测和检查；
3.如果达到给定迭代误差则迭代停止，得到方程数值解，并输出。
2.3.程序代码
本程序是用C++语言在MicrosoftvisualC++编译环境下编译和运行的，由于代码太长，程序代码见附录2
2.4．计算结果
a）对问题a的求解结果如下：
1.当输入的右端向量b=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]T；
初始向量x（0）=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]T时，用Jacobi迭代法求解，得到如下结果：
请选择迭代方式：
1.Jacobi迭代法2.Gauss—Seidel迭代法
第1次迭代结果:
X[1]={0.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.3333330.333333}
第15次迭代结果:
X[15]={0.4816320.5734090.6327920.652090.6609320.6642940.6657020.666260.6664830.666560.666560.6664830.666260.6657020.6642940.6609320.652090.6327920.5734090.481632}
第16次迭代结果:
X[16]={0.4816340.5734120.6327970.6520960.6609390.6643020.665710.6662690.6664920.6665690.6665690.6664920.6662690.665710.6643020.6609390.6520960.6327970.5734120.481634}
迭代精度达到要求，迭代停止！
迭代结果为X[16]
2.同样输入右端向量b=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]T；
初始向量x（0）=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]T时，用G-S迭代法求解，得到如下结果：
X[1]={0.3333330.3888890.4259260.4367280.4416150.443330.4440230.4442810.4443820.444420.4444350.4444410.4444430.4444440.4444440.4444440.4444440.4444440.4444440.444444}
第10次迭代结果:
X[10]={0.4816290.5734060.6327910.6520910.6609340.6642980.6657080.6662680.6664920.6665710.6665730.6664970.6662740.6657160.6643080.6609440.6521010.6328010.5734150.481636}
第11次迭代结果:
X[11]={0.4816340.5734120.6327980.6520980.6609410.6643050.6657150.6662740.6664980.6665760.6665760.6664990.6662760.6657180.6643080.6609450.6521010.6328010.5734150.481636}
迭代结果为X[11]
b）对问题b）的求解结果如下：
选取初始向量和右端向量分别为
，将
的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角元素不变，每次选用Jacobi迭代法计算，要求迭代误差满足，
将程序中表示倍数的M取1时，迭代次数为23次，能达到迭代误差精度要求；
当M取2时，迭代次数为13次，能达到迭代误差精度要求；
当M取3时，迭代次数为10次，能达到迭代误差精度要求；
当M取4时，迭代次数为9次，能达到迭代误差精度要求；
当M取5时，迭代次数为8次，能达到迭代误差精度要求；
当M取7时，迭代次数为8次，能达到迭代误差精度要求；
当M取8时，迭代次数为7次，能达到
升级会员 